leet笔记-62.不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2 输出: 3 解释: 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向右 -> 向下
向右 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3 输出: 28

提示：

1 <= m, n <= 100 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

思路：

步骤一、定义数组元素的含义

dp[i][j]: dp[i][j]代表到达 i 和 j 的所有路径的总数

由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

步骤二：找出关系数组元素间的关系式

动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达

所以到这样一步，是要把所有可能走的路径都加起来

所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。

步骤三、找出初始值

0行0列，无论走到哪都是1种方案，所以dp[0..m][1]$或者$dp[1][0..n]都等于1

因此初始值如下：

dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

直接上代码：

class Solution(object):
    # 时间复杂度：O(m*n)
    # 空间复杂度：O(m*n)

    def uniquePaths1(self, m, n):
        # 1. 定义dp[i][j]，初始化表格，表示到达i和j路径总数
        # 2. 初始化动态方程: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        # 3. 找出初始化值。显然，0行 0列都只有1种方式，都为1

        # 初始化表格，由于初始化0行 0列都为1。那么，先全部置为1
        dp = [[1 for _ in range(m)] for _ in range(n)]
        # print dp

        for i in range(1, n):
            for j in range(1, m):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

        return dp[n-1][m-1]

当前：

时间复杂度：O(m*n)

空间复杂度：O(m*n)

让我们把空间复杂度降为：O(min(m,n))

思路：计算到 i 行 j 列的时候，我们使用到的总是前一行的数据，而与前i-2都没有关系

在接下来，可以考虑将 i 行和 i-1 行并为一行，减小空间复杂度。

看下图，对比思路：

上代码：

class Solution(object):
    # 时间复杂度：O(m*n)
    # 空间复杂度：O(min(m,n))
    def uniquePaths2(self, m, n):
        if m > n :
            m, n = n, m

        dp = [1 for _ in range(m)]

        for i in range(1, n):
            for j in range(1, m):
                dp[j] = dp[j] + dp[j-1]

        return dp[m-1]

此时的空间复杂度就降为O(min(m, n))