习题解答 - 码农教程

练习 1.1

题目：下面是一系列表达式，对于每个表达式，解释器将输出什么结果？假定这一系列表达式是按照给出的顺序逐个求值的。

(define a 3)
(define b (+ a 1))
(+ a b (* a b))
(= a b)
(if (and (> b a) (< b (* a b)))
    b
    a)

(cond ((= a 4) 6)
      ((= b 4) (+ 6 7 a))
      (else 25))

(+ 2 (if (> b a) b a))

(* (cond ((> a b) a)
         ((< a b) b)
         (else -1))
   (+ a 1))

注：有些表达式过于简单，这里只保留了一些稍有难度的表达式。

解答

按照前两行得出 a=3，b=4，之后的表达式逐个求值即可。

练习 1.2

解答

(/ (+ 5
      4
      (- 2 (- 3 (+ 6 (/ 4 5)))))
   (* 3
      (- 6 2)
      (- 2 7))

练习 1.3

题目：定义一个过程，以三个数字为参数，返回其中两个较大数字的平方和。

解答

分三种情况分析，找出最小的数，剩下两个数求平方和即可。

(define (square x) (* x x))

(define (sumsquares x y) (+ (square x) (square y)))

(define (sqsumlargest a b c)
  (cond
    ((and (>= a c) (>= b c)) (sumsquares a b))
    ((and (>= b a) (>= c a)) (sumsquares b c))
    ((and (>= a b) (>= c b)) (sumsquares a c))))

注：Scheme 有两个常量 #t 和 #f。解释器将 #f 解析为 false，任意其他值都作为 true 来处理，#t 并不是必要的，只是为了方便。

练习 1.4

题目：我们的求值模型允许组合式的操作符是复合表达式，基于这一思想对下列过程的行为进行描述。

(define (a-plus-abs-b a b)
  ((if (> b 0) + -) a b))

解答

 (a-plus-abs-b 1 -3)
 ((if (> -3 0) + -) 1 -3)
 ((if #f + -) 1 -3)
 (- 1 -3)
 4
  
 (a-plus-abs-b 1 3)
 ((if (> 3 0) + -) 1 3)
 ((if #t + -) 1 3)
 (+ 1 3)
 4

练习 1.5

题目：Ben 先生发明了一种测试方法，能够确定其使用的解释器采用的是应用序还是正则序求值。他定义了如下两种过程：

(define (p) (p))
(define (test x y)
  (if (= x 0) 0 y))

然后他对下面的表达式求值：

(test 0 (p))

如果解释器采用的是应用序求值，Ben 先生会观察到什么情况？如果采用的是正则序求值，又会是什么情况？（假定对特殊形式 if 的求值规则对两种序都是一样的，即先分析谓词，再根据结果决定分析哪个表达式）

解答

对于应用序求值，由于会先对参数求值，所以会先去求值 (p)，导致无限循环，程序卡死：

(test 0 (p))

(test 0 (p))

(test 0 (p))

对于正则序求值，由于不会先对参数求值，而先执行复合过程 test，由于 if 判断结果为真，所以求值第一个表达式，得到结果为 0.

(test 0 (p))

(if (= 0 0) 0 (p))

(if #t 0 (p))

0

练习 1.6

题目：Alyssa 并不明白为什么 if 需要提供为一种特殊形式，”为什么不能直接通过 cond 将其定义为一个常规过程呢？“ 她的朋友 Eva 认为确实可以这样做，并定义了 if 的一个新版本：

(define (new-if predicate then-clause else-clause)
  (cond (predicate then-clause)
        (else else-clause)))

Alyssa 使用 new-if 重写了平方根程序：

(define (sqrt-iter guess x)
  (new-if (good-enough? guess x)
          guess
          (sqrt-iter (improve guess x) x)))

该程序可以正常运行吗？请解释。

解答

很遗憾，该程序并不能正常运行。因为 new-if 是遵循应用序求值的，无论 good-enough? 的判断结果如何，sqrt-iter 都会被先求值，导致程序无限循环运行下去。

而特殊形式 if 则会先对谓词进行求值，再根据其结果选择其中一个表达式进行求值，从而得出正确的结果。

练习 1.7

题目：对于很小的数的平方根而言，之前使用的 good-enough? 测试的效果不会很好。此外，在实际的计算机中，算术运算往往是以有限精度进行的，这会使我们的测试不适用于非常大的数。请举例说明上述两种情况。另一种实现 good-enough? 的策略是观察猜测值从一次迭代到下一次的变化情况，当改变值相对于猜测值的比率很小的时候就结束，请设计一个采用这种测试方法的平方根过程，并测试其对于很小的数和很大的数的效果。

解答

对于很小的数来说，之前设置的误差阈值 0.001 有些过大了。例如，在我的电脑上计算 (sqrt 0.0001) 时，结果为 0.03230844833048122，与正确答案 0.01 相差较大。

对于很大的数来说，机器的有限精度无法表示两个大数之间的微小差别，这会导致程序无限执行下去（差距永远不会小于 0.001）。例如，在我的电脑上计算 (sqrt 10000000000000) 时，程序会无限执行，guess 始终保持在 3162277.6601683795。

使用另一种策略，可以提升对大数和小数的效果，这里不去计算前后两个猜测值的变化率，直接判断两者是否相等：

(define (sqrt x)
  (define (average x y)
    (/ (+ x y) 2))
  (define (square x) (* x x))
  (define (improve guess) (average guess (/ x guess)))
  (define (good-enough? guess)
    (= (improve guess) guess))
  (define (sqrt-iter guess)
    (if (good-enough? guess)
        guess
        (sqrt-iter (improve guess))))
  (sqrt-iter 1.0))

改进后的程序对之前两个数字的测试结果如下：

Input: (sqrt 0.0001)
Output: 0.01

Input: (sqrt 10000000000000)
Output: 3162277.6601683795

练习 1.8

解答

使用上一题中的改进策略，编写过程如下：

(define (root x)
  (define (average3 x y z)
    (/ (+ x y z) 3))
  (define (square x) (* x x))
  (define (improve guess)
    (average3 (/ x (square guess)) guess guess))
  (define (good-enough? guess)
    (= (improve guess) guess))
  (define (root-iter guess)
    (if (good-enough? guess)
        guess
        (root-iter (improve guess))))
  (root-iter 1.0))