《剑指 offer》刷题记录之：递归和循环

本篇开始将介绍与算法和数据操作相关的面试题。有很多算法都可以用「递归」和「循环」两种不同的方式实现。通常基于递归的实现方法代码会比较简洁，但性能不如基于循环的实现方法。面试时我们需要根据题目的特点和面试官的需求灵活选择。

「排序」和「查找」通常是面试时考查算法的重点。我们应该重点掌握「二分查找」、「归并排序」和「快速排序」，做到能够随时正确、完整地写出它们的代码。

如果面试题要求在二维数组（具体可能表现为迷宫或者棋盘）上搜索路径，那么我们可以尝试使用「回溯法」。通常回溯法很适合用递归的方式实现，只有面试官不允许使用递归时，我们再考虑用栈来模拟递归的过程。

如果面试题是求某个问题的最优解，并且该问题可以分为多个子问题，那么我们可以尝试用「动态规划」。在用自上而下的递归思路去分析动态规划问题的时候，我们会发现子问题之间存在重叠的更小的子问题。为了避免不必要的重复计算，我们用自下而上的循环代码来实现，也就是把子问题的最优解先算出来并用数组保存，接下来基于子问题的解计算大问题的解。

位运算可以看成一类特殊的算法，它是把数字表示成二进制之后对 0 和 1 的操作。位运算总共只有 5 种：与、或、异或、左移和右移。

面试题 10a：斐波那契数列

❝题目：写一个函数，输入

，其斐波那契（Fibonacci）数列的第

项。斐波那契数列的定义如下： ❞

注意：答案要求「取模」 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

「示例」

输入：n = 2
输出：1

输入：n = 5
输出：5

限制：

思路及代码

这道题看起来非常适合用递归方法，因为斐波那契数列的定义中即存在递归的调用。然而，这一方法存在很严重的效率问题，以

为例，其递归求解过程可以通过下图来表示：

可以看到，树中存在着大量的重复节点，且随着

的增大而急剧增加，这会带来急剧增大的时间复杂度。为了避免重复计算，我们可以改用循环的方法，直接从下往上计算，先根据

和

算出

，再根据

和

算出

，以此类推就可以算出第

项了。实际上这种基于循环的思路也是动态规划思想的一种体现（将大问题拆分为小问题，并避免重复计算），与标准 dp 的区别在于只存储最近的两个变量而非整个列表。

基于上述思路的 java 实现如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int a = 0, b = 1, sum;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum = (a + b) % 1000000007; // 正数时取余和取模相同
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

该方法的时间复杂度为

，空间复杂度为

。

实际上，还有一种时间复杂度为

的算法，这种算法基于如下数学公式：

我们可以通过数学归纳法证明上式。基于该式，我们只要求解右边的矩阵的乘方即可得到

。而乘方具有如下性质：

因此我们可以基于递归实现乘方，将时间复杂度缩减为

。这种方法将在面试题 16 中详细讨论。

面试题 10b：青蛙跳台阶问题

❝题目：一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级台阶。求该青蛙跳上一个

级台阶总共有多少种跳法。 ❞

注意：答案要求「取模」 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

「示例」

输入：n = 2
输出：2

输入：n = 7
输出：21

限制：

思路及代码

这道题目本质上还是斐波那契数列。我们可以进行如下分析：如果只有 1 级台阶，那显然只有一种跳法，如果有 2 级台阶，那么有两种跳法：一种是分两次跳，每次跳 1 级；另一种是一次跳 2 级。

对于一般的情况，我们把

级台阶的跳法看成

的函数，记为

。那么当

时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳 1 级，此时跳法数目等于后面剩下的

级台阶的跳法数目，即

；二是第一次跳 2 级，此时跳法数目等于后面剩下的

级台阶的跳法数目，即

。因此

级台阶的不同跳法的总数为：

这就是一个斐波那契数列。区别在于起始数字不同：

是基于后面两者得出的，为了保证公式的一致性。

上述思路的 python 实现如下：

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        a, b = 1, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, (a + b) % 1000000007
        return a

该方法的时间复杂度为

，空间复杂度为

。

在本问题中，如果把条件改成：一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级……也可以跳上

级，此时该青蛙跳上一个

级台阶总共有多少种跳法？我们可以用「数学归纳法」证明：

具体来说，我们先验证

成立，然后假设

成立，则按照与青蛙跳台阶类似的思路，我们有：

因此原命题成立。