数学规划模型

线性规划的一般形式

 数学规划的分类

1、线性规划：如果目标函数f（x）的约束条件均是决策变量的线性表达式、

2、非线性规划：当目标函数f（x）或者约束条件中有一个是决策变量x的非线性表达式。

3、整数规划：一类要求变量取整数值的数学规划。线性整数规划

4、0-1规划:整数变量的取值只能为0和1

线性规划问题的求解

 Matlab 求解线性规划的函数

%% Matlab求解线性规划
% [x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0)  
% c是目标函数的系数向量，A是不等式约束Ax<=b的系数矩阵，b是不等式约束Ax<=b的常数项
% Aeq是等式约束Aeq x=beq的系数矩阵，beq是等式约束Aeq x=beq的常数项
% lb是X的下限，ub是X的上限，X是向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量。
% 迭代的初始值为x0（一般不用给）
% 更多该函数的用法说明请看讲义

%% 例题1
c = [-5 -4 -6]';  % 加单引号表示转置
% c = [-5 -4 -6];  % 写成行向量也是可以的，不过不推荐，我们按照标准型来写看起来比较正规
A = [1 -1 1;
        3 2 4;
        3 2 0];
b = [20 42 30]';   
lb = [0 0 0]'; 
[x fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb)  % ub我们直接不写，则意味着没有上界的约束
% x =
%          0
%    15.0000
%     3.0000
% 
% fval =
%    -78

⭐最大化问题需要提前改成最小化问题

%% 例题3
c = [-2 -3 5]';
A = [-2 5 -1;
          1 3 1];
b = [-10 12];
Aeq = ones(1,3);
beq = 7;
lb = zeros(3,1);
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
fval = -fval % 注意这个fval要取负号（原来是求最大值，我们添加负号变成了最小值问题）
% x =
%     6.4286
%     0.5714
%          0
% fval =
%   -14.5714
% fval =
%    14.5714

典型例题代码

%% 生产决策问题
format long g   %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
% (1) 系数向量
c = zeros(9,1); % 初始化目标函数的系数向量全为0
c(1) = 1.25 -0.25 -300/6000*5;  % x1前面的系数是c1
c(2) = 1.25 -0.25 -321/10000*7;
c(3) = -250 / 4000 * 6;
c(4)  = -783/7000*4;
c(5) = -200/4000 * 7;
c(6) = -300/6000*10;
c(7) = -321 / 10000 * 9;
c(8) = 2-0.35-250/4000*8;
c(9) = 2.8-0.5-321/10000*12-783/7000*11;
c = -c;  % 我们求的是最大值，所以这里需要改变符号
% (2) 不等式约束
A = zeros(5,9);
A(1,1) = 5;  A(1,6) = 10;
A(2,2) = 7;  A(2,7) = 9; A(2,9) = 12;
A(3,3) = 6;  A(3,8) = 8;
A(4,4) = 4;  A(4,9) = 11;
A(5,5) = 7;  
b = [6000 10000 4000 7000 4000]';
% (3) 等式约束
Aeq = [1 1 -1 -1 -1 0 0 0 0;
            0 0 0 0 0 1 1 -1 0];
beq = [0 0]';%加上'代表是列向量
%（4）上下界
lb = zeros(9,1);
% 进行求解
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
fval = -fval
% fval =
%           1146.56650246305
%  注意，本题应该是一个整数规划的例子，我们在后面的整数规划部分再来重新求解。