【洛谷 1082】同余方程

题解：洛谷教会我的。题解也来自洛谷（超详细）

问题转化

题目问的是满足 $\mod b = 1axmodb=1 的最小正整数 xx。（a,ba,b是正整数）$

但是不能暴力枚举

把问题转化一下。观察 $\mod b = 1axmodb=1，它的实质是 ax + by = 1ax+by=1：这里 yy 是我们新引入的某个整数，并且似乎是个负数才对。这样表示是为了用扩展欧几里得算法。我们将要努力求出一组 x,yx,y 来满足这个等式。稍微再等一下——$

问题还需要转化。扩展欧几里得是用来求

原理是，方程 $\mod gcd(a,b) = 0mmodgcd(a,b)=0。$

这个简单证一下。

由最大公因数的定义，可知

若

因为

那么 $\mod gcd(a,b) = 0mmodgcd(a,b)=0。$

可得出在这道题中，方程 $\mod gcd(a,b) = 01modgcd(a,b)=0。可怜的 gcd(a,b)gcd(a,b) 只能等于 11 了。这实际上就是 a,ba,b 互质。$

扩展欧几里得

前提是知道了普通欧几里得算法（辗转相除法）。下面字母挺多，希望你耐心地慢慢地读~

我们拿到了一组

（注意，虽然刚刚已经证明本题的

根据普通欧几里得算法， $a\mod b)gcd(a,b)=gcd(b,amodb) （②）。$

如果我们先前已经求出了另一组数 $x_2, y_2x2,y2，它们满足 bx_2 + (a \mod b)y_2 = gcd(b, a \mod b)bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb) （③），（提示一下，这个等式与①的结构一致，系数则是根据②替换的。此处的递归形态已经有所显露，别着急）$

结合②③，一定有

$bx_2 + (a \mod b)y_2bx2+(amodb)y2$

$\mod b)=gcd(b,amodb)$

在这个“如果”实现的时候，我们的目标变成了

求出满足 $bx_2 + (a \mod b)y_2ax+by=bx2+(amodb)y2 （④）的 xx 与 yy。$

其中 $a,b,x_2,y_2a,b,x2,y2 都已知，x,yx,y待求。未知数比方程更多，没有唯一解。我们先求出一组必然存在的解，最后将在答案处理时转变为使正整数 xx 最小的解。$

取模运算是 $\mod b = a - b×(a/b)amodb=a−b×(a/b)，能理解吧？$

等式④实际上是：

$bx_2 + (a-b×(a/b))y_2ax+by=bx2+(a−b×(a/b))y2$

$bx_2 + ay_2 - b × (a/b)y_2ax+by=bx2+ay2−b×(a/b)y2$

$ay_2 + b(x_2-(a/b)y_2)ax+by=ay2+b(x2−(a/b)y2)$

看上面这个方程，一组必然存在的解出现了！

$y_2, y = x_2 - (a/b)y_2x=y2,y=x2−(a/b)y2 ⑤$

可见我们只要求出 $x_2,y_2x2,y2，就能得出正确的x,yx,y。问题是 x_2,y_2x2,y2 怎么求。$

脑海里抛掉前面的 $\mod bb,amodb 这两个系数，而目标是求出满足 bx_2 + (a \mod b)y_2 = gcd(b,a \mod b)bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb)（③）的 x_2x2 与 y_2y2，以便于待会回馈给⑤。$

等一下。

比较于③，我再去看看原方程①：

原方程中的 $\mod bamodb 而已。$

按照上面的一模一样下来（其实都只是推导过程），我们发现，最好有 $x_3,y_3x3,y3 来支撑 x_2, y_2x2,y2。$

再一模一样下来，我们又需要 $x_4,y_4x4,y4 来支撑 x_3, y_3x3,y3。$

……

这个递归中 $\mod bb,amodb，逼近最后：$

但我们再往下一层。此时由于 $\mod b = 0amodb=0，下一层的 b = 0b=0。$

是时候直接回馈了，我们需要一组 $x_n,y_nxn,yn 满足 a_nx_n + b_ny_n = gcd(a_n,b_n)anxn+bnyn=gcd(an,bn)。$

然而本层的 $b_n = 0bn=0，则 gcd(a_n,b_n) = gcd(a_n,0) = a_ngcd(an,bn)=gcd(an,0)=an。那么只要等式左边取 x_n = 1xn=1，这个等式就妥妥的成立了。$

最后一层回馈的 $y_nyn 建议用 00，但由于 b = 0b=0，回馈其它数值等式一定也成立。意料之外的是，这样的程序有时候会求错解。如果回馈 33，那么你将收获 7070 分的好成绩。如果回馈 -20002−20002，那么你将收获 4040 分的好成绩。为什么呢？$

原因仅仅是，被回馈（却与 $y_nyn 在回溯时滚雪球式增长，容易数值越界。下面的代码在最后一层令 y = 7y=7，开了long long，没有出问题。$

最后一层结束后，就开始返回，直到最上层。每一层可以轻松地根据下层的 $x_{k+1},y_{k+1}xk+1,yk+1 求出当前层的 x_k, y_kxk,yk。$

小提示：

上面的算法中，以辗转相除的方式向下递进的好处（目的）是缩小系数，直到出现一个解可以确定的情况。

对扩展欧几里得也可以有不同的理解方式，比如可以设 G = gcd(a,b)，然后类似地推导，每一层的等式右边都是G。

答案处理

一个重大遗留：我们将要求出来的

1.显然这并不会把方程中任何整数变成非整数。

2.“加上或减去

已经求出一组整数 $\frac{1-ax}{b} = yb1−ax=y。yy 是整数，可见目前 1-ax1−ax 是 bb 的倍数。$

现在想改变 $的变化量（\Delta xΔx）不是 bb 的倍数，则 1-ax1−ax 的变化量（-a×\Delta x−a×Δx）也不是 bb 的倍数，这会使得 1-ax1−ax 不再是 bb 的倍数，则 yy 不是整数了。$

仅当

因此到最后，如果

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y,x0,y00;
void exgcd(ll a,ll b){
    if(b==0){
        x=1; y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    x0=x; y00=y;
    x=y00; y=x0-(a/b)*y00;
}
int n,m;
int main(){
    //freopen("1082.in","r",stdin);
    //freopen("1082.out","w",stdout);
    scanf("%lld %lld",&n,&m); exgcd(n,m);
    //while(x<0) x+=m; x%=m;
    printf("%lld",(x+m)%m); 
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/wuhu-JJJ/p/11311436.html