最大子序列和的问题的解(1)
最暴力的做法,复杂度O(N^3)
暴力求解也是容易理解的做法,简单来说,我们只要用两层循环枚举起点和终点,这样就尝试了所有的子序列,然后计算每个子序列的和,然后找到其中最大的即可,C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[1024];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和,初始化为num[1]能保证最终结果正确
//i和j分别是枚举的子序列的起点和终点,k所在循环计算每个子序列的和
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int j = i; j <= N; j++) {
int s = 0;
for(int k = i; k <= j; k++) {
s += num[k];
}
if(s > ans) ans = s;
}
}
printf("%dn", ans);
return 0;
}
如果我们有这样一个数组sum,sum[i]
表示第1个到第i个数的和。那么我们如何快速计算第i个到第j个这个序列的和?对,只要用sum[j] - sum[i-1]
就可以了!这样的话,我们就可以省掉最内层的循环,让我们的程序效率更高!C语言代码如下:
include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,sum是数组前缀和,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[16384], sum[16384];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
//计算数组前缀和
sum[0] = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
sum[i] = num[i] + sum[i - 1];
}
int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和,初始化为num[1]能保证最终结果正确
//i和j分别是枚举的子序列的起点和终点
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int j = i; j <= N; j++) {
int s = sum[j] - sum[i - 1];
if(s > ans) ans = s;
}
}
printf("%dn", ans);
return 0;
}
这个算法的时间复杂度是O(N^2)。如果我们的计算机可以每秒计算一亿次的话,这个算法在一秒内能计算出10000左右长度序列的答案,比之前的程序已经有了很大的提升!此外,我们在这个程序中创建了一个sum数组,事实上,这也是不必要的,我们我就也可以把数组前缀和直接计算在num数组中,这样可以节约一些内存。
换个思路,继续优化
你应该听说过分治法,正是:分而治之。我们有一个很复杂的大问题,很难直接解决它,但是我们发现可以把问题划分成子问题,如果子问题规模还是太大,并且它还可以继续划分,那就继续划分下去。直到这些子问题的规模已经很容易解决了,那么就把所有的子问题都解决,最后把所有的子问题合并,我们就得到复杂大问题的答案了。可能说起来简单,但是仍不知道怎么做,接下来分析这个问题: 首先,我们可以把整个序列平均分成左右两部分,答案则会在以下三种情况中: 1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。 2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。 3、所求序列刚好横跨分割点,即左右序列各占一部分。 前两种情况和大问题一样,只是规模小了些,如果三个子问题都能解决,那么答案就是三个结果的最大值。我们主要研究一下第三种情况如何解决:
我们只要计算出:以分割点为起点向左的最大连续序列和、以分割点为起点向右的最大连续序列和,这两个结果的和就是第三种情况的答案。因为已知起点,所以这两个结果都能在O(N)的时间复杂度能算出来。
递归不断减小问题的规模,直到序列长度为1的时候,那答案就是序列中那个数字。 综上所述,C语言代码如下,递归实现:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[16777216];
int solve(int left, int right)
{
//序列长度为1时
if(left == right)
return num[left];
//划分为两个规模更小的问题
int mid = left + right >> 1;
int lans = solve(left, mid);
int rans = solve(mid + 1, right);
//横跨分割点的情况
int sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];
for(int i = mid; i >= left; i--) {
sum += num[i];
if(sum > lmax) lmax = sum;
}
sum = 0;
for(int i = mid + 1; i <= right; i++) {
sum += num[i];
if(sum > rmax) rmax = sum;
}
//答案是三种情况的最大值
int ans = lmax + rmax;
if(lans > ans) ans = lans;
if(rans > ans) ans = rans;
return ans;
}
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
printf("%dn", solve(1, N));
return 0;
}
不难看出,这个算法的时间复杂度是O(N*logN)的(想想归并排序)。它可以在一秒内处理百万级别的数据,甚至千万级别也不会显得很慢!这正是算法的优美之处。对递归不太熟悉的话可能会对这个算法有所疑惑,那可就要仔细琢磨一下了。
动态规划的魅力,O(N)解决!
很多动态规划算法非常像数学中的递推。我们如果能找到一个合适的递推公式,就能很容易的解决问题。
我们用dp[n]表示以第n个数结尾的最大连续子序列的和,于是存在以下递推公式:
dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
仔细思考后不难发现这个递推公式是正确的,则整个问题的答案是max(dp[m]) | m∈[1, N]
。C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[134217728];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
num[0] = 0;
int ans = num[1];
for(int i = 1; i <= N; i++) {
if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];
else num[i] += 0;
if(num[i] > ans) ans = num[i];
}
printf("%dn", ans);
return 0;
}
这里我们没有创建dp数组,根据递归公式的依赖关系,单独一个num数组就足以解决问题,创建一个一亿长度的数组要占用几百MB的内存!这个算法的时间复杂度是O(N)的,所以它计算一亿长度的序列也不在话下!不过你如果真的用一个这么大规模的数据来测试这个程序会很慢,因为大量的时间都耗费在程序读取数据上了!
另辟蹊径,又一个O(N)的算法
考虑我们之前O(N^2)的算法,即一个简单的优化一节,我们还有没有办法优化这个算法呢?答案是肯定的!
我们已知一个sum数组,sum[i]
表示第1个数到第i个数的和,于是sum[j] - sum[i-1]
表示第i个数到第j个数的和。
那么,以第n个数为结尾的最大子序列和有什么特点?假设这个子序列的起点是m,于是结果为sum[n] - sum[m-1]
。并且,sum[m]
必然是sum[1],sum[2]...sum[n-1]
中的最小值!这样,我们如果在维护计算sum数组的时候,同时维护之前的最小值, 那么答案也就出来了!为了节省内存,我们还是只用一个num数组。C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[134217728];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
//计算数组前缀和,并在此过程中得到答案
num[0] = 0;
int ans = num[1], lmin = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
num[i] += num[i - 1];
if(num[i] - lmin > ans)
ans = num[i] - lmin;
if(num[i] < lmin)
lmin = num[i];
}
printf("%dn", ans);
return 0;
}
看起来我们已经把最大连续子序列和的问题解决得很完美了,时间复杂度和空间复杂度都是O(N),不过,我们确实还可以继续!
大道至简,最大连续子序列和问题的完美解决
很显然,解决此问题的算法的时间复杂度不可能低于O(N),因为我们至少要算出整个序列的和,不过如果空间复杂度也达到了O(N),就有点说不过去了,让我们把num数组也去掉吧!
#include <stdio.h>
int main()
{
int N, n, s, ans, m = 0;
scanf("%d%d", &N, &n); //读取数组长度和序列中的第一个数
ans = s = n; //把ans初始化为序列中的的第一个数
for(int i = 1; i < N; i++) {
if(s < m) m = s;
scanf("%d", &n);
s += n;
if(s - m > ans)
ans = s - m;
}
printf("%dn", ans);
return 0;
}
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