如何实现四元数的运算
时间:2022-07-28
本文章向大家介绍如何实现四元数的运算，主要内容包括其使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项，具有一定的参考价值，需要的朋友可以参考一下。
与本文相关图书：《Python大学实用教程》
在前面的一篇文章《Python中的5对必知的魔法方法》中所介绍的“魔法方法”，或者说是特殊方法，其命名均是双下划线开始和结束。英文中称为“dunder methods”。为了更充分理解这类方法，本文通过一个示例，专门介绍此类方法的特点。
构建四元数对象
四元数是一个代数概念，通常用于描述旋转，特别是在3D建模和游戏中有广泛的应用。
其中
。
下面就一步一步演示此对象的创建方法，特别要关注双下划线开始和结束的那些特殊方法。
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
这是首先定义了__init__初始化方法，通过这个方法，在创建实例时将
分别定义为实数。
>>> q1 = Quaternion(1, 2, 3, 4)
>>> q1
<__main__.Quaternion at 0x7f4210f483c8>
貌似一个四元数对象定义了。但是，它没有友好的输出。接下来可以通过定义__repr__和__str__，让它对机器或者开发者都更友好。继续在类中增加如下方法：
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
def __repr__(self):
return "Quaternion({}, {}, {}, {})".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __str__(self):
return "Q = {:.2f} + {:.2f}i + {:.2f}j + {:.2f}k".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
对于这两方法，在前面的《Python中的5对必知的魔法方法》中已经有介绍，请参考。
>>> q1 # calls q1.__repr__
Quaternion(1, 2, 3, 4)
>>> print(q1) # calls q1.__str__
Q = 1.00 + 2.00i + 3.00j + 4.00k
实现代数运算
上述类已经能实现实例化了，但是，该对象还要参与计算，比如加、减法等。这类运算如何实现？
加法
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
def __repr__(self):
return "Quaternion({}, {}, {}, {})".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __str__(self):
return "Q = {:.2f} + {:.2f}i + {:.2f}j + {:.2f}k".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __add__(self, other):
w = self.w + other.w
x = self.x + other.x
y = self.y + other.y
z = self.z + other.z
return Quaternion(w, x, y, z)
__add__是用于实现对象的加法运算的特殊方法。这样就可以使用+运算符了：
>>> q1 = Quaternion(1, 2, 3, 4)
>>> q2 = Quaternion(0, 1, 3, 5)
>>> q1 + q2
Quaternion(1, 3, 6, 9)
减法
类似地，通过__sub__实现减法运算，不过，这次用一行代码实现。
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
def __repr__(self):
return "Quaternion({}, {}, {}, {})".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __str__(self):
return "Q = {:.2f} + {:.2f}i + {:.2f}j + {:.2f}k".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __add__(self, other):
w = self.w + other.w
x = self.x + other.x
y = self.y + other.y
z = self.z + other.z
return Quaternion(w, x, y, z)
def __sub__(self, other):
return Quaternion(*list(map(lambda i, j: i - j, self.__dict__.values(), other.__dict__.values())))
有点酷。这里使用了实例对象的__dict__属性，它以字典形式包含了实例的所有属性，请参考《Python大学实用教程》中的详细讲解。
乘法
乘法，如果了解一下线性代数，会感觉有点复杂。其中常见的一个是“点积”，自从Python3.5以后，用@符号调用__matmul__方法实现，对于四元数对象而言不能，就是元素与元素对应相乘。
对于四元数而言——本质就是向量，也可以说是矩阵，其乘法就跟矩阵乘法类似，比如，同样不遵守互换率：
。
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
def __repr__(self):
return "Quaternion({}, {}, {}, {})".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __str__(self):
return "Q = {:.2f} + {:.2f}i + {:.2f}j + {:.2f}k".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __add__(self, other):
w = self.w + other.w
x = self.x + other.x
y = self.y + other.y
z = self.z + other.z
return Quaternion(w, x, y, z)
def __sub__(self, other):
return Quaternion(*list(map(lambda i, j: i - j, self.__dict__.values(), other.__dict__.values())))
def __mul__(self, other):
if isinstance(other, Quaternion):
w = self.w * other.w - self.x * other.x - self.y * other.y - self.z * other.z
x = self.w * other.x + self.x * other.w + self.y * other.z - self.z * other.y
y = self.w * other.y + self.y * other.w + self.z * other.x - self.x * other.z
z = self.w * other.z + self.z * other.w + self.x * other.y - self.y * other.x
return Quaternion(w, x, y, z)
elif isinstance(other, (int, float)):
return Quaternion(*[other * i for i in self.__dict__.values()])
else:
raise TypeError("Operation undefined.")
在__mul__方法中，如果other引用一个四元数对象，那么就会计算Hamilton积，并返回一个新的对象；如果other是一个标量（比如整数），就会与四元数对象中的每个元素相乘。
如前所述，四元数的乘法不遵循交换律，但是，如果执行2 * q1这样的操作，按照上面的方式，会报错——在上面的__mul__方法中解决了q1 * 2的运算，而一般我们认为这两个计算是相同的。为此，定义了·rmul·来解决此问题：
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
def __repr__(self):
return "Quaternion({}, {}, {}, {})".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __str__(self):
return "Q = {:.2f} + {:.2f}i + {:.2f}j + {:.2f}k".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __add__(self, other):
w = self.w + other.w
x = self.x + other.x
y = self.y + other.y
z = self.z + other.z
return Quaternion(w, x, y, z)
def __sub__(self, other):
return Quaternion(*list(map(lambda i, j: i - j, self.__dict__.values(), other.__dict__.values())))
def __mul__(self, other):
if isinstance(other, Quaternion):
w = self.w * other.w - self.x * other.x - self.y * other.y - self.z * other.z
x = self.w * other.x + self.x * other.w + self.y * other.z - self.z * other.y
y = self.w * other.y + self.y * other.w + self.z * other.x - self.x * other.z
z = self.w * other.z + self.z * other.w + self.x * other.y - self.y * other.x
return Quaternion(w, x, y, z)
elif isinstance(other, (int, float)):
return Quaternion(*[other * i for i in self.__dict__.values()])
else:
raise TypeError("Operation undefined.")
def __rmul__(self, other):
if isinstance(other, (int, float)):
return self.__mul__(other)
else:
raise TypeError("Operation undefined.")
相等
比较两个四元数是否相等，可以通过定义__eq__方法来实现。
class Quaternion:
def __init__(self, w, x, y, z):
self.w = w
self.x = x
self.y = y
self.z = z
def __repr__(self):
return "Quaternion({}, {}, {}, {})".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __str__(self):
return "Q = {:.2f} + {:.2f}i + {:.2f}j + {:.2f}k".format(
self.w, self.x, self.y, self.z)
def __add__(self, other):
w = self.w + other.w
x = self.x + other.x
y = self.y + other.y
z = self.z + other.z
return Quaternion(w, x, y, z)
def __sub__(self, other):
return Quaternion(*list(map(lambda i, j: i - j, self.__dict__.values(), other.__dict__.values())))
def __mul__(self, other):
if isinstance(other, Quaternion):
w = self.w * other.w - self.x * other.x - self.y * other.y - self.z * other.z
x = self.w * other.x + self.x * other.w + self.y * other.z - self.z * other.y
y = self.w * other.y + self.y * other.w + self.z * other.x - self.x * other.z
z = self.w * other.z + self.z * other.w + self.x * other.y - self.y * other.x
return Quaternion(w, x, y, z)
elif isinstance(other, (int, float)):
return Quaternion(*[other * i for i in self.__dict__.values()])
else:
raise TypeError("Operation undefined.")
def __rmul__(self, other):
if isinstance(other, (int, float)):
return self.__mul__(other)
else:
raise TypeError("Operation undefined.")
def __eq__(self, other):
r = list(map(lambda i, j: abs(i) == abs(j), self.__dict__.values(), other.__dict__.values()))
return sum(r) == len(r)
其他运算
下面的方法，也可以接续到前面的类中，不过就不是特殊放方法了。
from math import sqrt
def norm(self):
return sqrt(sum([i**2 for i in self.__dict__.values()))
def conjugate(self):
x, y, z = -self.x, -self.y, -self.z
return Quaterion(self.w, x, y, z)
def normalize(self):
norm = self.norm()
return Quaternion(*[i / norm for in self.__dict__.values()])
def inverse(self):
qconj = self.conjugate()
norm = self.norm()
return Quaternion(*[i / norm for i in qconj.__dict__.values()])
用这些方法实现了各自常见的操作。
通过本文的这个示例，可以更深刻理解双下划线的方法为编程带来的便捷。
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