Day48:不用加减乘除做加法

剑指Offer_编程题——不用加减乘除做加法

题目描述：

写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用+、-、*、/四则运算符号

具体要求:

时间限制： C/C++ 1秒，其他语言2秒 空间限制： C/C++32M，其他语言64M

具体实现

1、背景知识介绍： (1)、java中的位运算   计算机中是这样定义位运算的，计算机在底层使用的是二进制补码进行运算。对应的二进制位进行操作，计算机只识别0和1。使用位运算的优点在于：巧妙的使用位运算可以大量减少运行开销，优化算法。   Java中支持的七个运算符为：&：与运算符、|：或运算符、~：非运算符、 ^：异或运算符、>>：右移运算符、<<：左移运算符以及>>>：无符号右移运算符。在Java中位移操作：(只针对int类型的有效，Java中，一个int的长度始终是32位，也就是4个字节,它操作的都是该整数的二进制数).也可作用于以下类型，即 byte，short，char，long(它们都是整数形式)。当为这四种类型时，JVM先把它们转换成int型再进行操作。我们在上一篇文章中介绍了位运算的基本操作。比如说：1、与（&）运算符，两个都为1时才为1，其他情况均为0； 具体操作我们以-5&4为例：首先我们先将-5和4转化为二进制的形式：   -5的二进制形式为：11111111 11111111 11111111 11111011   4的二进制形式为：00000000 00000000 00000000 00000100    进行逻辑运算后为：00000000 00000000 00000000 00000000   转换为十进制为：0 2、或（|）运算符，两个都为0时才为0，其他情况均为1 3、非（~）运算符，取反，即1变为0，0变为1 4、异或（^）运算符，相同值为0，不同值为1 5、右移（>>）运算符，m>>n，把m的二进制数右移n位，m为正数，高位全部补0，m为负数，高位全部补1 。由于右移和左移是比较经常用的，也对于初学者来说比较难，所以我们可以详细的介绍其运算法则以及相应的注意事项。首先我们举个例子来说明其法则。我们以5>>2为例：还是将5转化为二进制，结果如下：    5的二进制形式为：00000000 00000000 00000000 00000101    进行逻辑运算后为（右移两位）：00000000 00000000 00000000 00000001    转换为十进制为：1    这里需要我们注意的是：java中由于每种数据类型都有一定的范围，因此会存在溢出的情况，在右移的时候，我们的考虑这个问题。 在数字没有溢出的情况下：m>>n相当于m除以2的n次方，得到的数为整数时，即为结果，得到的数为负数时，根据m的有值两种情况：    ①：m为正数时，得到的商会舍弃小数位    ②：m为负数时，得到的商会舍弃小数位，然后把整数部分+1得到结果。 我们以5>>4为例将情况进行说明，首先我们对其进行二进制转换：    5的二进制形式为：00000000 00000000 00000000 00000101   进行逻辑运算后为（右移四位）：00000000 00000000 00000000 00000000   转换为十进制为：0   这个案例需要我们之一的是：在这个案例中，我们舍弃了小数点后面的。 6、根据上面的右移，左移和右移差不多。唯一的区别在于一个是做乘法，一个是做除法运算。具体运算法则为：m<<n，把m的二进制数左移n位，高位超出n位都舍弃，低位补0（此时可能出现正数变负数）。 注意：在数字没有溢出的情况下，对于整数和负数，m<<n相当于m乘以2的n次方。 7、无符号右移（>>>）运算符，m>>>n，整数m表示的二进制右移n位，不论正负数，高位都补0   总之，位运算快的原因是直接跟计算机的底层二进制机器操作指令，而我们的程序代码运算最终也是由JVM转换成计算机可执行的二进制操作指令，位运算省略了中间转换的操作，处理器直接操作所以更快。 (2)、Python位运算的结果判定方法   因为Python整数没有溢出，但是正负数的区分还需要标志位，正数为0，负数为 1，所以Python中正负数都有隐藏的额外标志位，位运算过程中标志位也参与运算，因为电脑位运算本身是不区分正负的，只是靠读取规则区分，首位为0 是正数，首位为1 是负数的补码，一个正数存储的时候 不论多大 最高位 前面会留一个符号位 0，而取反的时候 符号位也被取反，正数取反的结果是一个负数的补码。位运算时负数按补码进入计算，正数直接原码计算，那么怎么判定位运算结算结果的正负呢？如果位运算结果的最高位为1 则判定 这是一个负数的补码，否则判定这是一个正数，负数与任何数的位或运算结果都为负数，因为符号位 在或运算结果中始终为 1。 1.程序中 (num1^num2) & 0xFFFFFFFF,((num1&num2)<<1) & 0xFFFFFFFF，&0xFFFFFFFF的意义是产生溢出效果，副作用是 负数的标志位 1 也被置零。具体运算过程如下：

2.1+1的运算实例

3. ( -1) + (-1) 的运算实例

4.最后return中的操作意义，如果num1小于0x7FFFFFFF说明num1是正数，num1大于0x7FFFFFFF,说明num1应该是个负数，但是前面的&操作将负数的标志1位也置0了，我们需要一步操作，把标志位找回来，先和0xFFFFFFFF位或，再取反找回标志位变成原来的值。这样就是一个负数的补码了~(num1^0xFFFFFFFF)。

思路一：   根据上面我们介绍的相关位运算的相关知识，我们可以将两个数的和转化为两数异或与两数按位与左移一位的和，这可以用过迭代来实现。具体我们用java实现如下：

public class Solution{
	public int Add(int num1, int num2){
		if(num2 == 0)
			return num1;
		if(num1 == 0)
			return num2;
		return Add((num1&num2)<<1, num1^num2);
	}
}

代码效果图如图所示：

  延伸上面的思路，既然可以有迭代，那就一定有费迭代的方法，和接下来我们可以用java来实现非迭代的方法：

public class Solution{
	public int Add(int num1, int num2){
		while(num2 != 0){
			int sum = num1^num2;
			num2 = (num2&num1)<<1;
			num1 = sum;
		}
		return num1;
	}
}

代码效果图如图所示：

思路二：   由于python整数的左移操作不会溢出，所以不能像Java、C++那样解答。具体实现如下：

class Solution:
	def Add(self, num1, num2):
		while(num2):
			num1, num2 = (num1^num2) & 0xFFFFFFFF,((num1 & num2)<<1)& 0xFFFFFFFF
		return num1 if num1 <= 0x7FFFFFFF else ~(num1^0xFFFFFFFF)

代码效果图如图所示：

  这里需要我们注意的是：python的左移不会导致溢出，CPU计算是用补码计算，正数的补码、反码都和本身相同，负数的[-1]（1000 0000 0000 0001）符号位不变，其他位按位取反[-1的反码]（1111 1111 1111 1110）,负数的补码[-1的补码]（1111 1111 1111 1111）是它的反码末位加1 ，& 0xFFFFFFFF与的这个操作是为了限制位数在32位之内，因为高于32位的部分‘& 0xFFFFFFFF’在与的操作之后都被置零了，这样相当于产生了溢出效果。高于& 0xFFFFFFFF最高位的前面都是0   网上有一些错误的解法，尽管牛客网可以编译通过，但是很明显是不符合题目要求，因为题目的要求是不能出现=-*/在代码中，只要出现了就是违规的。以下是其中的一种。

class Solution:
	def Add(self, num1, num2):
		while num2 != 0:
			temp = num1 ^ num2
			num2 = (num1 & num2) << 1
			num1 = temp & 0xFFFFFFFF
		return num1 if num1 >> 31 == 0 else num1 - 4294967296 
		# 在这里很明显用到了-运算符，因此不符合题意要求，但是代码却可以通过。

代码效果图如图所示：

补充

迭代 VS. 递归   我们在此前用了很多递归，本次代码却用到的是迭代，迭代与递归形式上虽然差不多，但是有着本质的区别。接下来我们来看一下其差异。   典型的案例就是：斐波那契数列、阶乘 n! = n * (n-1) * (n-2) * …* 1(n>0)、汉诺塔问题等。其实递归就是自己调用自己。构成递归需具备的条件：子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单； 、不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。   二者的区别在于：从概念上讲，递归就是指程序调用自身的编程思想，即一个函数调用本身；迭代是利用已知的变量值，根据递推公式不断演进得到变量新值得编程思想。简单地说，递归是重复调用函数自身实现循环。迭代是函数内某段代码实现循环，而迭代与普通循环的区别是：循环代码中参与运算的变量同时是保存结果的变量，当前保存的结果作为下一次循环计算的初始值。   当然我们也发现其实无论是迭代还是递归，都本质上是一种循环。那么二者和普通的for、while循环又有何区别呢？迭代时，循环代码中参与运算的变量同时是保存结果的变量，当前保存的结果作为下一次循环计算的初始值。循环是有去无回，而递归则是有去有回(因为存在终止条件)。并且，在循环的次数较大的时候，迭代的效率明显高于递归。这就是他们之间的区别，希望可以帮到大家。

总结

  其实本道题与上一道题的本意是差不多，都是以数学为背景考察大家对二进制转化以及位运算的掌握情况。本题，我们首先给大家介绍了在python和java中位运算的计算，并且通过迭代与非迭代的方式将其实现。另外本文还给出了网上一些不合题意但是可以通过执行的代码。题目明确要求不能用±*/符号，那么我们就不可以在代码中出现这些符号，尽管牛客网可以通过，但也是不符合题意要求的。因此，我们在做题的时候，应该多次尝试各种方法，扩展自己的思维，写出优质的代码。总之，我们要继续加油，争取早日找到工作，Good Luck！！！

参考文献

[1] Sue12347 [2] s1314p [3] Java中的位运算 [4] 迭代和递归的理解和区别