动态规划--0,1背包问题（再也不怕类似背包问题了）

这种类型问题三大要素：总重量、每件物品重量、每件物品价值，问最终能够塞进背包中的价值最大是多少？应该怎么选择物品？

当然也不一定是这些，例如上节所说的矿工挖矿：总人数、挖每座矿的人数、每座矿的金子数。

也就是说，只要出现了这三大要素，都可以视为0，1背包问题（物品不可拆分）

动态规划三要素：边界、最优子结构、状态转移方程。

我们一步步进行解析：

初始化：物品总重量：c=8，物品类别：n=['a','b','c','d']，物品重量：w=[2,4,5,3]，物品价值：v=[5,4,6,2]

假设我们目前只有一个物品a，

• 背包的总重量为0，那么我们获得总价值为0
• 背包的总重量为1，那么我们获得总价值为1
• 背包的总重量为2，此时，正好可以放下物品a，因为它的重量正好是2，那么我们获得总价值为5
• 在这之后，我们可以获得的总价值均为5，因为总重量>2，且只有a一个物品

假设我们现在多了一个物品b,

• 背包总重量0，那么我们获得总价值为0
• 背包总重量1，那么我们获得总价值为0
• 背包总重量2，此时可以放进a，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量3，仍只能放进a，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量4，此时我们既可以放进a，也可以放进b，选价值最大的，也就是放进a，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量5，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量6，此时就可以放进a，b了，那么我们获得总价值为5+4=9
• 在这之后，我们可以获得的总价值均为9

假设我们现在多了一个物品c

• 背包总重量0，那么我们获得总价值为0
• 背包总重量1，那么我们获得总价值为0
• 背包总重量2，此时可以放进a，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量3，仍只能放进a，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量4，此时我们既可以放进a，也可以放进b，选价值最大的，也就是放进a，那么我们获得总价值为5
• 背包总重量5，此时我们可以放a，也可以放c，选最大的，也就是放进c，此时我们获得总价值为6
• 背包总重量6，此时可以放进a，b了，也可以只放进c，选最大的，那么我们获得总价值为5+4=9>6
• 在这之后，我们可以获得的总价值均为9

依此类推下去，看起来挺复杂，其实是有套路的，那我们应该如何实现。

对付这种问题，一般就直接初始化一个数组：dp[len(n)+1][c+1]，即5行9列的二维数组（行代表物品种类，列代表总重量，多加一列和一行是为了更容易理解）

接下来，我们就从代码中一步步剖析：

n=['a','b','b','d']
c=8
w=[2,4,5,3]
v=[5,4,6,2]
def bag(c,w,v):
    #初始化数组，dp[i][j]表示总重量为j，物品种类为i，可以获得的最大价值
    dp = [[0 for _ in range(c+1)] for _ in range(len(w)+1)]
    #定义边界，也就是当我们只有物品a，总重量依次由0-8
    #也就是第一步我们所解释的
    for i in range(1,c+1):
        if i>=w[0]:
            dp[1][i] = v[0]
    #遍历从第二行第一列开始
    for i in range(2,len(w)+1):
        for j in range(1,c+1):
            #如果对于第i个物品，当前总重量放不下它，那么获得的最大值就是放下之前的i-1个
            if j<w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            #如果放得下，那么获得的最大值就是max(放下之前的i-1个，第i个物品的价值+
            # （总重量-第i个物品的重量)在前i-1个物品的值)
            #注意下标，第i个物品的重量是w[i-1]，价值是v[i-1]
            else:
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
    return dp
def show(c,w,dp):
    print("最大价值为：",dp[len(w)][c])
    x = [False for _ in range(len(w)+1)]
    j = c #8
    i = len(w) #4
    while i>=0:
        if dp[i][j]>dp[i-1][j]:
            x[i]=True
            j=j-w[i-1]
        i-=1
    print("选择的物品是：")
    for i in range(len(w)+1):
        if x[i]:
            print("第",i,"个",end='')
    print('')
dp = bag(c,w,v)
for i in range(len(w)+1):
    print(dp[i])
show(c,w,dp)

运行结果：

最后在输出第几个物品的时候采用由下往上，如果下面的值大于上面的值，说明这个物品被放置了，然后总重量减去该物品重量，继续判断，如蓝色所标记的。

总结：背包问题三步走：

（1）初始化dp数组，行为物品个数+1，列为总重量+1

（2）初始化边界，只放一个物品，在不同总重量下得到的价值

（3）遍历数组，依赖dp[i-1]更新dp[i]