三角形最小路径和

问题描述：

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。



说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle
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解决方案

该问题和不同路径问题挺类似的。

定义一个二维整型数组记做dp,其中dp[i] [j] 表示从i层的j位置出发走到走后一层的最短路径。

转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]

其中triang[i] [j]为当前位置的路径，下一步总是选择里最后一层距离短的位置。

baseline：

dp[N - 1][i] = triangle[N - 1][i]

其中N为三角形的总行数。

代码如下：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        if(triangle.size() == 0){
            return 0;
        }
        int N = triangle.size();
        int[][] dp = new int[N][N];// dp[i][j] 从i层j位置到底的最短路径
        for(int j = 0; j < N; j++){
            dp[N - 1][j] = triangle.get(N - 1).get(j);
        }
        for(int i = N - 2; i >= 0; i--){
            for(int j = 0; j <= i; j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

时间复杂度O（N^2），额外空间复杂度亦为O（N^2）.

我们发现当前层的取值只依赖其下一层的取值，因此可以只用保存一行数据即可，将空间复杂度压缩到O（N）。代码如下：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        if(triangle.size() == 0){
            return 0;
        }
        int N = triangle.size();
        int[] dp = new int[N];// dp[i][j] 从i层j位置到底的最短路径
        for(int j = 0; j < N; j++){
            dp[j] = triangle.get(N - 1).get(j);
        }
        for(int i = N - 2; i >= 0; i--){
            for(int j = 0; j <= i; j++){
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}