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内容参考： Tensorflow四种交叉熵函数计算公式：tf.nn.cross_entropy TensorFlow四种Cross Entropy算法实现和应用

交叉熵（Cross Entropy）

交叉熵（Cross Entropy）是Loss函数的一种（也称为损失函数或代价函数），用于描述模型预测值与真实值的差距大小，常见的Loss函数就是均方平方差（Mean Squared Error），定义如下。

C=frac{(y-a)^{2}}{2}

注意：tensorflow交叉熵计算函数输入中的logits都不是softmax或sigmoid的输出，而是softmax或sigmoid函数的输入，因为它在函数内部进行sigmoid或softmax操作

TensorFlow交叉熵函数

TensorFlow针对分类问题，实现了四个交叉熵函数，分别是

• tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits
• tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits
• tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits
• tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits
• 详细内容参考API文档

1. sigmoid_cross_entropy_with_logits

tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=logits, labels=labels)

• 计算方式：对输入的logits先通过sigmoid函数计算，再计算它们的交叉熵，但是它对交叉熵的计算方式进行了优化，使得的结果不至于溢出。
• 适用：每个类别相互独立但互不排斥的情况：例如一幅图可以同时包含一条狗和一只大象。
• output不是一个数，而是一个batch中每个样本的loss,所以一般配合tf.reduce_mean(loss)使用。
• 计算公式：

begin{array}{l} y=text { labels } quad p_{i j}=operatorname{sigmoid}left(operatorname{logits}_{i j}right)=frac{1}{1+e^{-operatorname{logits}_{i j}}} \ operatorname{loss}_{i j}=-left[y_{i j} * ln p_{i j}+left(1-y_{i j}right) ln left(1-p_{i j}right)right] end{array}

• 用例：

import tensorflow as tf
import numpy as np

def sigmoid(x):
    return 1.0/(1+np.exp(-x))

# 5个样本三分类问题，且一个样本可以同时拥有多类
y = np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1],[1,1,0],[0,1,0]] 
logits = np.array([[12,3,2],[3,10,1],[1,2,5],[4,6.5,1.2],[3,6,1]])
# 按计算公式计算
y_pred = sigmoid(logits)
E1 = -y*np.log(y_pred)-(1-y)*np.log(1-y_pred)
print(E1)     # 按计算公式计算的结果
# 按封装方法计算
sess =tf.Session()
y = np.array(y).astype(np.float64) # labels是float64的数据类型
E2 = sess.run(tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=y,logits=logits))
print(E2)     # 按 tf 封装方法计算

if E1.all() == E2.all():
    print("True")
else:
    print("False")
# 输出的E1，E2结果相同

2. softmax_cross_entropy_with_logits

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None, labels=None, logits=None, dim=-1, name=None)

• labels：和logits具有相同type和shape的张量(tensor)，,是一个有效的概率，sum(labels)=1, one_hot=True(向量中只有一个值为1.0，其他值为0.0)。
• 计算方式：对输入的logits先通过softmax函数计算，再计算它们的交叉熵，但是它对交叉熵的计算方式进行了优化，使得结果不至于溢出。
• 适用：每个类别相互独立且排斥的情况，一幅图只能属于一类，而不能同时包含一条狗和一只大象。
• output：不是一个数，而是一个batch中每个样本的loss，所以一般配合tf.reduce_mean(loss)使用。
• 计算公式：

begin{array}{c} y=text { labels } quad p_{i}=text { softmax }left(operatorname{logits}_{i}right)=left[frac{e^{text {logits }_{i j}}}{sum_{j=0}^{text {numclasses-1 }} e^{text {logits }_{i j}}}right] \ operatorname{loss}_{i}=-sum_{j=0}^{text {numclasses-1 }} y_{i j} * ln p_{i j} end{array}

• 用例：

import tensorflow as tf
import numpy as np

def softmax(x):
    sum_raw = np.sum(np.exp(x),axis=-1)
    x1 = np.ones(np.shape(x))
    for i in range(np.shape(x)[0]):
        x1[i] = np.exp(x[i])/sum_raw[i]
    return x1

y = np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]])# 每一行只有一个1
logits =np.array([[12,3,2],[3,10,1],[1,2,5],[4,6.5,1.2],[3,6,1]])
# 按计算公式计算
y_pred =softmax(logits)
E1 = -np.sum(y*np.log(y_pred),-1)
print(E1)
# 按封装方法计算
sess = tf.Session()
y = np.array(y).astype(np.float64)
E2 = sess.run(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y,logits=logits))
print(E2)

if E1.all() == E2.all():
    print("True")
else:
    print("False")
# 输出的E1，E2结果相同

3. sparse_softmax_cross_entropy_with_logits

tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,labels=None,logits=None, name=None)

• labels：shape为[batch_size],labels[i]是{0,1,2,……,num_classes-1}的一个索引, type为int32或int64
• 计算方式：对输入的logits先通过softmax函数计算，再计算它们的交叉熵，但是它对交叉熵的计算方式进行了优化，使得结果不至于溢出。
• 适用：每个类别相互独立且排斥的情况，一幅图只能属于一类，而不能同时包含一条狗和一只大象 。
• output不是一个数，而是一个batch中每个样本的loss,所以一般配合tf.reduce_mean(loss)使用。
• 计算公式： 和tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()的计算公式一样，只是要将labels转换成tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()中labels的形式

4. weighted_cross_entropy_with_logits

tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits(labels,logits, pos_weight, name=None) 

• 计算具有权重的sigmoid交叉熵sigmoid_cross_entropy_with_logits（）
• 计算公式：

begin{array}{c} y=text { labels } quad p_{i}=text { softmax }left(operatorname{logits}_{i}right)=left[frac{e^{text {logits }_{i j}}}{sum_{j=0}^{text {numclasses-1 }} e^{text {logits }_{i j}}}right] \ operatorname{loss}_{i}=-sum_{j=0}^{text {numclasses-1 }} y_{i j} * ln p_{i j} end{array}

总结

根据业务需求（分类目标是否独立和互斥）来选择基于sigmoid或者softmax的实现。

TensorFlow提供的Cross Entropy函数基本cover了多目标和多分类的问题，但如果同时是多目标多分类的场景，肯定是无法使用softmax_cross_entropy_with_logits，如果使用sigmoid_cross_entropy_with_logits我们就把多分类的特征都认为是独立的特征，而实际上他们有且只有一个为1的非独立特征，计算Loss时不如Softmax有效。这里可以预测下，未来TensorFlow社区将会实现更多的op解决类似的问题，我们也期待更多人参与TensorFlow贡献算法和代码 !

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