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这里向您展示如何在R中使用glmnet包进行岭回归（使用L2正则化的线性回归），并使用模拟来演示其相对于普通最小二乘回归的优势。

岭回归

当回归模型的参数被学习时，岭回归使用L2正则化来加权/惩罚残差。在线性回归的背景下，它可以与普通最小二乘法（OLS）进行比较。OLS定义了计算参数估计值（截距和斜率）的函数。它涉及最小化平方残差的总和。L2正则化是OLS函数的一个小增加，以特定的方式对残差进行加权以使参数更加稳定。结果通常是一种适合训练数据的模型，不如OLS更好，但由于它对数据中的极端变异（例如异常值）较不敏感，所以一般性更好。

包

我们将在这篇文章中使用以下软件包：

library(tidyverse)
library(broom)
library(glmnet)

与glmnet的岭回归

glmnet软件包提供了通过岭回归的功能glmnet()。重要的事情要知道：

它不需要接受公式和数据框架，而需要一个矢量输入和预测器矩阵。

您必须指定alpha = 0岭回归。

岭回归涉及调整超参数lambda。glmnet()会为你生成默认值。另外，通常的做法是用lambda参数来定义你自己（我们将这样做）。

以下是使用mtcars数据集的示例：

因为，与OLS回归不同lm()，岭回归涉及调整超参数，lambda，glmnet()为不同的lambda值多次运行模型。我们可以自动找到最适合的lambda值，cv.glmnet()如下所示：

cv_fit <- cv.glmnet(x, y, alpha =0, lambda = lambdas)

cv.glmnet() 使用交叉验证来计算每个模型的概括性，我们可以将其视为：

plot(cv_fit)

曲线中的最低点指示最佳的lambda：最好使交叉验证中的误差最小化的lambda的对数值。我们可以将这个值提取为：

opt_lambda <- cv_fit$lambda.minopt_lambda
#> [1] 3.162278

我们可以通过以下方式提取所有拟合的模型（如返回的对象glmnet()）：

这是我们需要预测新数据的两件事情。例如，预测值并计算我们训练的数据的R 2值：

y_predicted <- predict(fit, s = opt_lambda, newx = x)
sst <- sum((y - mean(y))^2)
sse <- sum((y_predicted - y)^2)# R squared
rsq <-1- sse / sstrsq
#> [1] 0.9318896

最优模型已经在训练数据中占93％的方差。

Ridge v OLS模拟

通过产生比OLS更稳定的参数，岭回归应该不太容易过度拟合训练数据。因此，岭回归可能预测训练数据不如OLS好，但更好地推广到新数据。当训练数据的极端变化很大时尤其如此，当样本大小较低和/或特征的数量相对于观察次数较多时这趋向于发生。

下面是我创建的一个模拟实验，用于比较岭回归和OLS在训练和测试数据上的预测准确性。

我首先设置了运行模拟的功能：

现在针对不同数量的训练数据和特征的相对比例运行模拟（需要一些时间）：

d <- purrr::cross_d(list(n_train = seq(20,200,20),p_features = seq(.55,.95,.05)))
d <- d %>%mutate(results = map2(n_train, p_features, repeated_comparisons))

可视化结果...

对于不同数量的训练数据（对多个特征进行平均），两种模型对训练和测试数据的预测效果如何？

根据假设，OLS更适合训练数据，但Ridge回归更好地归纳为新的测试数据。此外，当训练观察次数较少时，这些影响更为明显。

对于不同的相对特征比例（平均数量的训练数据），两种模型对训练和测试数据的预测效果如何？

再一次地，OLS在训练数据上表现稍好，但Ridge在测试数据上更好。当特征的数量相对于训练观察的数量相对较高时，效果更显着。

下面的图有助于将Ridge对OLS的相对优势（或劣势）可视化为观察值和特征的数量：

这显示了综合效应：当训练观察数量较低和/或特征数目相对于训练观察数目较高时，Ridge回归更好地转移到测试数据。OLS在类似条件下的训练数据上表现略好，表明它比使用脊线正则化时更容易过度训练数据。