BZOJ1965: [Ahoi2005]SHUFFLE 洗牌(exgcd 找规律)

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Description

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

Input

有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。

Output

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

Sample Input

6 2 3

Sample Output

HINT

Source

非常巧妙的一道题、

通过找规律不难发现，第$i$个位置下一轮的位置为$2i pmod {n + 1}$

那么下$m$轮的位置为$2^m i pmod {n + 1}$

我们需要找到一个位置$x$，使得$2^m x equiv L pmod {n + 1}$

那么$x equiv L * 2^{-x} pmod {n + 1}$

做完了。。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<iostream>
#define int long long  
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int x, y, N, M, L, mod;
int fastpow(int a, int p) {
    int base = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) base = (base * a) % mod;
        a = (a * a) % mod; p >>= 1;
    }
    return base % mod;
}
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {x =1; y = 0; return a;}
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x; x = y; y = t -(a / b) * y;
    return r;
}
int inv(int a, int b) {
    exgcd(a, b, x, y);
    while(x < 0) x += b;
    return x % b;
}
main() {
    N = read(); M = read(); L = read();
    mod = N + 1;
    printf("%lld", L % mod * inv(fastpow(2, M), mod) % mod);
}