一、Softmax Regression简介

Softmax Regression是Logistic回归的推广，Logistic回归是处理二分类问题的，而Softmax Regression是处理多分类问题的。Logistic回归是处理二分类问题的比较好的算法，具有很多的应用场合，如广告计算等。Logistic回归利用的是后验概率最大化的方式去计算权重。

二、Logistic回归的回顾

在Logistic回归中比较重要的有两个公式，一个是阶跃函数：

另一个是对应的损失函数

最终，Logistic回归需要求出的是两个概率：

和

具体的Logistic回归的过程可参见“简单易学的机器学习算法——Logistic回归”。

三、Logistic回归的推广——Softmax Regression

在Logistic回归需要求解的是两个概率：

和

，而在Softmax Regression中将不是两个概率，而是

个概率，

表示的是分类的个数。我们需要求出以下的概率值：

此时的损失函数为

其中

是一个指示性函数，意思是大括号里的值为真时，该函数的结果为1，否则为0。下面就这几个公式做个解释：

1、损失函数的由来

概率函数可以表示为

其似然函数为

似然为

我们要最大化似然函数，即求

。再转化成损失函数。

2、对

似然(或者是损失函数)求偏导

为了简单，我们仅取一个样本，则可简单表示为

下面对

求偏导：

其中，

表示第

维。如Logistic回归中一样，可以使用基于梯度的方法来求解这样的最大化问题。基于梯度的方法可以参见“优化算法——梯度下降法”。

四、实验

1、训练数据

从图上我们可以看到分为4类。

2、测试数据

在区间上随机生成了4000个点，这样比较直观地看到分类边界。

3、Matlab源码

主程序

clear all;
clc;

%% 导入数据
data = load('SoftInput.txt');
[m,n] = size(data);
labels = unique(data(:,3));
labelLen = length(labels);%划分的种类
dataMat(:,2:3) = data(:,1:2);
dataMat(:,1) = 1;%做好数据集，添加一列为1
labelMat(:,1) = data(:,3)+1;%分类的标签
%% 画图
figure;
hold on
for i = 1:m
    if labelMat(i,:) == 1
        plot(data(i,1),data(i,2),'.m');%粉红色
    elseif labelMat(i,:) == 2
        plot(data(i,1),data(i,2),'.b');%蓝色
    elseif labelMat(i,:) == 3
        plot(data(i,1),data(i,2),'.r');%红色
    else
        plot(data(i,1),data(i,2),'.k');%黑色
    end
end
title('原始数据集');
hold off

%% 初始化一些参数
M = m;%数据集的行
N = n;%数据集的列
K = labelLen;%划分的种类
alpha = 0.001;%学习率
weights = ones(N, K);%初始化权重

%% 利用随机梯度修改权重
weights = stochasticGradientAscent(dataMat, labelMat, M, weights, alpha);

%% 测试数据集(主要在区间里随机生成)
size = 4000;
[testDataSet, testLabelSet] = testData(weights, size, N);
%% 画出最终的分类图
figure;
hold on
for i = 1:size
    if testLabelSet(i,:) == 1
        plot(testDataSet(i,2),testDataSet(i,3),'.m');
    elseif testLabelSet(i,:) == 2
        plot(testDataSet(i,2),testDataSet(i,3),'.b');
    elseif testLabelSet(i,:) == 3
        plot(testDataSet(i,2),testDataSet(i,3),'.r');
    else
        plot(testDataSet(i,2),testDataSet(i,3),'.k');
    end
end
title('测试数据集');
hold off

随机梯度法

%% 随机梯度下降法(这里要用上升法)
function [ weights ] = stochasticGradientAscent( dataMat, labelMat, M, weights, alpha )
    for step = 1:500
        for i = 1:M%对每一个样本
            pop = exp(dataMat(i,:)*weights);%计算概率
            popSum = sum(pop);%分母
            pop = -pop/popSum;%求好概率
            pop(:,labelMat(i)) = pop(:,labelMat(i))+1;%加1的操作
            weights = weights + alpha*dataMat(i,:)'*pop;
        end
    end
end

生成测试数据

%% 计算测试数据集
function [ testDataSet, testLabelSet ] = testData( weights, m, n)
    testDataSet = ones(m,n);%构建了全1的矩阵
    testLabelSet = zeros(m,1);
    for i = 1:m
        testDataSet(i,2) = rand()*6-3;
        testDataSet(i,3) = rand()*15;
    end
    
    %% 计算测试数据的所属分类
    for i = 1:m
        testResult = testDataSet(i,:)*weights;
        [C,I] = max(testResult);
        testLabelSet(i,:) = I;
    end
end

简单易学的机器学习算法——Softmax Regression