《Redis设计与实现》读书笔记（三十五） ——Redis 二进制位数组及SWAR汉明重量算法

《Redis设计与实现》读书笔记（三十五） ——Redis 二进制位数组及SWAR汉明重量算法

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一、基本概念

redis提供了setbit、getbit、bitcount、bitop四个命令用于处理二进制数组，称为bit array，又叫位数组。

setbit命令用于位数组指定偏移量上的二进制设置值，偏移量从0开始计算，值可以是0或者是1。

getbit获取指定位置上的值。

bitcount统计位数组里面，值为1的二进制位的数量。

bitop可以有and、or、xor，即与、或、异或的位运算。

二、位数组的表示

redis使用字符串对象sds来表示位数组，因为其数据结构是二进制安全的。因此，其末尾也会用来表示结尾。

一字节长度的位数组，在结构中表示如下：

其中，buf[0]存放1字节的二进制数组，即长度是8位的二进制数组。buf[1]空字符即是。

为了便于查看，采用如下方式：

需要注意的是，实际上保持的数据，和日常习惯是相反的，如上图中，实际上保存的是二进制数01001101。采用逆序保存是为了便于setbit的实现。

三、getbit实现

getbit返回位于数组bitarray的offset偏移量的值，命令即getbit <bitarray> <offset>。命令执行流程如下：

1）计算byte=offset/8，向下取整。该值记录了保存在offset偏移量的位数保存在哪个字节中，即上述的获取buf数组的下标。

2）计算bit=(offset mod 8)+1，获取二进制的位数是哪一位，即上述buf[byte]数组具体的位置。

3）根据上述的结果，获取buf[byte][bit]的值。

4）将结果返回给客户端。

例如对于某个二进制数组，getbit<bitarray> 10：

getbit所有操作都可以在常数时间完成，时间复杂度是O(1)。

四、setbit实现

1、普通setbit

setbit设置位于数组bitarray的offset偏移量的值为value，命令即setbit <bitarray> <offset> <value>。命令执行流程如下：

1）执行getbit的1、2两步，确定需要修改的二进制的具体位置。

2）获取对应位置的值进行暂存到oldvalue，并且将新的值设置进去。

3）将oldvalue返回给客户端。

setbit时间复杂度也是O(1)。

2、带扩展操作的setbit

当设置的offset计算出的byte的结果超出现有的数组长度，即buf[byte]的下标超出现有的范围，则需要扩展。

例如，现有是1个字节，执行setbit<bitarray> 12 1，则算出byte=12/8取整，值是1，但是当前不存在buf[1]，则redis会新开辟空间。另外，redis基于redis开辟空间的策略（以前文章有提到），会扩展到5字节，剩余的空间是预留空间。

接着，按照前面的方式setbit，并返回旧的bit值。

由于redis采用逆序保存二进制数组，因此在对buf进行扩展后，可以直接将值设置到对应的bit，而不必改动现有的二进制位。如果是采用顺序方式保存，则每次扩展后，需要将位数组中已有的位进行移动，然后才能执行写入操作，则过程复杂。

五、bitcount实现

bitcount返回给定二进制数组中，值为1的二进制位的数量。例如对于下图，返回的结果是12。

实现统计几个1，redis中用到一些有趣的算法。

1、遍历算法

遍历算法是最简单但也最低效的方法，即遍历每个二进制位，当是1的时候，计数器加1。

这种算法中，遍历100MB长度的二进制数组，需要执行操作近8亿次。

2、查表法

对于一个集合来说，集合元素的排列方式是有限的；对于一个有限长度的数组来说，它能表示的二进制位的排列也是有限的。

根据上述原理，可以创建一个表，表的键为某种排列的位数组，值是1的二进制位的数量。例如下图是以8位长度作为键的表。

创建这个表后，则无需对位数组进行检查，只要查表就可以知道结果。利用上述的8位长度的表，每次可以查出8位二进制的1的数量，进而100MB长度的二进制数组，查找的次数减少到1亿次。

同理，如果创建一个更大的表，如16位的表，则1次可以查出16位二进制数组的1的数量，进而100MB长度只需要5000万次查找。

理论上来说，是可以创建一个足够大的表，则查询的次数可以降到很低，但是表会收到实际情况的限制：

1）查表法是典型的以空间换时间的方式，节约计算时间带来的是花费更多的内存，创建键长度为16位的二进制表，只需要几百KB；而32位，则需要超过10GB。通常服务器接受几百KB消耗还可以，但是十几个GB难以接受。

2）除了内存消耗，查表法的效果还会收到CPU缓存的限制。对于固定大小的缓存来说，创建的表格越大，CPU能保存的缓存的内容相比整个表格的比例就越少，查表的缓存不命中的概率越高，导致缓存的换入换出频繁切换，影响实际效率。

因此，要使用查表法，通常会建立8位或者16位的表。

3、variable-precisionSWAR算法

bitcount需要实现的计算二进制位的数量，在数学上称为计算汉明重量。目前最好的算法是variable-precision SWAR，该算法通过一系列的位移和位运算操作，可以在常数时间内计算多个字节的汉明重量，并且不需要耗费额外的内存。

算法如下：

uint32_t swar(uint32_t i){
//步骤1
i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) &0x55555555);
//步骤2
i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) &0x33333333);
//步骤3
i = (i & 0x0F0F0F0F) + ((i >> 4) &0x0F0F0F0F);
//步骤4
i = (i * (0x01010101) >> 24);
}

具体说明如下：

1）步骤1

计算出值i的二进制表示，可以按每两个二进制位为一组进行分组，各组的十进制位就表示该组的汉明重量。

解释：

0x55555555 = 0b01010101010101010101010101010101，可以看到奇数位都是1，偶数位都是0。

因此，假设j = i& 0x55555555，即j的偶数位都是0，奇数位是原始i的奇数位的1的数量。

(i >> 1) & 0x55555555，是将i右移一位以后，此时得到的临时变量还是奇数位的1和i右移后的奇数位的1的数量一样。因此，也就是i右移之前的i的偶数位的1的数量。

因此，这两个数相加以后，得到的是两位一组的情况下，每两位的二进制位中1的数量。

2）步骤2

计算出值i的二进制表示，可以按每四个二进制位为一组进行分组，各组的十进制位就表示该组的汉明重量。

因为0x33333333= 0b00110011001100110011001100110011，具体过程同第一步。

3）步骤3

计算出值i的二进制表示，可以按每八个二进制位为一组进行分组，各组的十进制位就表示该组的汉明重量。

因为0x0F0F0F0F= 00001111000011110000111100001111，具体过程同第一步。

4）步骤4

i * (0x01010101) 计算出的是bitarray的汉明重量，并记录在二进制位的最高八位。通过>>24右移运算，将汉明重量移动到最低八位。得到的结果就是最终的结果。

这个要分两步来理解。

0x01010101 = 00000001000000010000000100000001 = (1 << 24) + (1<< 16) + (1 << 8) + 1，因此，

k * 0x01010101 = (k << 24) + (k << 16) + (k << 8)+ k 。

由于前三步已经将结果分好组，这一步即求出每组上面二进制的值即可。

至于右移24位，只是将结果移到最低位而已。

该算法每次执行，可以计算长度为32位的二进制数组。上面提到用查表法的时候，32位需要耗费内存超过10GB，无法接受。而采用此方式，不需要额外耗费内存，而速度又是查表法的2倍。

另外，再每次循环总的数组的时候，调用1次swar就相当于32位，但是如果调用4次，将等于128位的计算。当然，多次调用是有极限的，一旦循环中处理的位数组大小超过了缓存的大小，这种优化效果会降低。

4、redis的实现

redis的bitcount，同时实现了查表法和swar算法。查找法使用8位长度的表，swar方面使用每个循环调用4次，即128位。

在执行bitcount的时候，redis会根据二进制位的数量。如果大于128位，则用swar；否则用查表法。

基本流程是，先将二进制位数组转换成无符号整数；再判断其长度，对于大于128位的，循环中调用swar算法，每次循环调用四次算法，并且总长度减去128位；如果长度小于8位，则调用查找表算法，每次调用1次8位表，并且总长度减去8位。

bitcount的时间复杂度是O(n)，n是二进制位数组的长度。使用swar时，共需要循环n/128向下取整次；使用查找表，共需要循环n mod 128次。

六、bitop实现

bitop接受选项and、or、xor、not，分别对应c语言中的&、|、^、~。

例如，键x、y分别保存的二进制位，如下图左右图所示。

执行bitop andresult x y，流程如下：

1）创建一个空白数组value，用于保存and操作的结果。

2）分别对两个数组的buf[0]~buf[2]进行&的计算，将结果分别保存在新的value中的buf[0]~buf[3]。

and、or、xor选项支持多个键，但是not只支持1个键的计算。

七、总结

1、redis使用sds数据结构来保存二进制位数组，每1个字节（8位）保存在buf的一个数组中，且采用逆序的方式保存。

2、bitcount结合查找表和swar算法实现，当数组长度超过128位用swar，否则用查找表。

——written by linhxx 2017.10.01