逆元的三种解法(附详细证明)

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什么是逆元？

若x满足

a*xequiv 1(mod p)

我们称x是a在mod p意义下的逆元

逆元的基本解法

https://loj.ac/problem/110

1.快速幂

当p为素数

根据费马小定理

a^{(p-1)}equiv 1(mod p)

{color{Green}a*a^{(p-2)}equiv 1(mod p) }

带入快速幂就好啦

时间复杂度:O(log_2^p)

 1 #include<cstdio>
 2 #define LL long long 
 3 using namespace std;
 4 const LL MAXN=200000001;
 5 LL n,mod;
 6 LL fastpow(LL val,LL p)
 7 {
 8     LL base=1;
 9     while(p)
10     {
11         if(p&1)    base=(base*val)%mod;
12         val=(val*val)%mod;
13         p>>=1;
14     }
15     return base;
16 }
17 int main()
18 {
19     scanf("%lld%lld",&n,&mod);
20     for(LL i=1;i<=n;i++)
21         printf("%lldn",fastpow(i,mod-2)%mod);
22     return 0;
23 }

2.扩展欧几里得

对于a*xequiv 1(mod p)

他的另一种写法为

a*x+p*y=1（想一想,为什么）

扩展欧几里得,带入求解

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int n,mod;
 6 inline int read()
 7 {
 8     char c=getchar();int  flag=1,x=0;
 9     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    flag=-1;c=getchar();}
10     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();    return x*flag;
11 }
12 int x,y;
13 int gcd(int a,int b)
14 {
15     return b==0?a:gcd(b,a%b);
16 }
17 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
18 {
19     if(b==0)
20     {
21         x=1,y=0;
22         return a;
23     }
24     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
25     int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
26     return r;
27 }
28 int main()
29 {
30     n=read(),mod=read();
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32     {
33         int g=exgcd(i,mod,x,y);
34         while(x<0)    x+=mod;
35         printf("%dn",x);
36     }
37     return 0;
38 }

时间复杂度:O(log_2^n)

3.递推

前两种方法常用来求单个逆元

对于逆元的需要量比较大的时候，我们可以使用递推的方法来求逆元

前提条件：$P$为素数

推导过程

设t=P/i k=P mod i

显然有

t*i+k equiv 0 (mod P)

k equiv -t*i(mod P)

两侧同除i*k,把t和k带入

inv[i] equiv -p/i*inv[p mod i] (mod p)

这里需要注意一个事情，

对于 amod p当a<0时，

应为(a+p) mod p

这样就可以把原式的mod p消掉，得

inv[i]=P-P/i*inv[Pmod i]

这样就可以进行线性的递推啦

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #define LL unsigned long long 
 6 using namespace std;
 7 const LL MAXN=200000001;
 8 inline LL read()
 9 {
10     char c=getchar();LL flag=1,x=0;
11     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    flag=-1;c=getchar();}
12     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();    return x*flag;
13 }
14 LL inv[MAXN];
15 LL n,p;
16 int main()
17 {
18     n=read(),p=read();
19     inv[1]=1;
20     printf("1n");
21     for(int i=2;i<=n;i++)
22     {
23         inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
24         printf("%dn",inv[i]);
25     }
26     return 0;
27 }

时间复杂度：O(n)

总结

在求多个数的逆元的时候，推荐使用递推算法

在求单个数的逆元的时候，推荐使用扩展欧几里得算法

因为扩展欧几里得算法不受模数的限制，而且自测运行效率比快速幂高不少