梯度是如何计算的

引言

深度学习模型的训练本质上是一个优化问题，而常采用的优化算法是梯度下降法（SGD）。对于SGD算法，最重要的就是如何计算梯度。此时，估计跟多人会告诉你：采用BP（backpropagation）算法，这没有错，因为神经网络曾经的一大进展就是使用BP算法计算梯度提升训练速度。但是从BP的角度，很多人陷入了推导公式的深渊。如果你学过微积分，我相信你一定知道如何计算梯度，或者说计算导数。对于深度网络来说，其可以看成多层非线性函数的堆积，即：

而我们知道深度学习模型的优化目标L一般是output的函数，如果要你求L关于各个参数的导数，你会不假思索地想到：链式法则。因为output是一个复合函数。在微积分里面，求解复合函数的导数采用链式法则再合适不过了。其实本质上BP算法就是链式法则的一个调用。让我们先忘记BP算法，从链式法则开始说起。

链式法则

链式法则无非是将一个复杂的复合函数从上到下逐层求导，比如你要求导式子：f(x,y,z)=(x+y)(x+z)。当然这个例子是足够简单的，但是我们要使用链式法则的方式来求导。首先可以将f(x,y,z)看成两个函数p(x,y)=(x+y)与q(x,z)=(x+z)的复合：f=pq。假如你要求df/dz，首先我们先要求出df/dp与df/dq。很显然，df/dp=q，df/dq=p。然后要求dp/dx与dq/dx，显然，dp/dx=1.0，dq/dx=1.0。这个时候已经求到最底层了，可以利用链式法则求出最终的结果了：df/dx=(df/dp)(dp/dx)+(df/dq)(dq/dx)=q+p。同样的方法，可以求出：df/dy=q，df/dz=p。如果大家细致观察的话，可以看到要求出最终的导数，你需要计算出中间结果：p与q。计算中间结果的过程一般是前向（forward）过程，然后再反向（backward）计算出最终的导数。过程如下：

#程序1#
    #输入
    x, y, z = -3, 2, 5
    
    #执行前向过程
    p = x + y        #p = -1
    q = x + z        #q = 2
    
    #执行反向过程计算梯度
    #第一个层反向：f = pq
    dfdp = q        #df / dp = 2
    dfdq = p        #df / dq = -1
    
    #第二个层反向，并累积第一层梯度：
    #p = x + y, q = x + z
    dfdx = 1.0 * dfdp + 1.0 * dfdq    #df / dx = 1
    dfdy = 1.0 * dfdp    #df / dy = 2
    dfdz = 1.0 * dfdq    #df / dz = -1

上面的一个过程就是BP算法，包含两个过程：前向forward）过程与反向（backword）过程。前向过程是从输入计算得到输出，而反向过程就是一个梯度累积的过程，或者说是BP，即误差反向传播。这就是BP的思想。上面的例子应该是比较简单的，而对于深度学习模型来说，其只不过是函数复杂一点罢了，但是如果你严格按照链式法则来去推导，只要你会基本求导方法，应该都不是什么难事了。

矩阵运算

其实对于深度学习模型来说，其运算都是基于矩阵运算的。对于新手来说，矩阵运算的求导可能会是一件比较头疼的事。其实矩阵运算求导是一个纸老虎。对于元素级的矩阵运算来说，比如激活函数这种，你完全可以把看成普通的求导。但是对于矩阵乘法，你需要特别注意，这里先抛出例子：

#程序2#
   import numpy as np
      
   #前向过程
   W = np.random.randn(5,10)
   X = np.random.randn(10,3)
   D = W.dot(X)
   
   #反向过程
   #假定dD是后面传播过来的梯度项
   dD = np.random.randn(*D.shape)  
   dW = dD.dot(X.T)
   dX = W.T.dot(dD)

如果你认真推导的话，是可以得到上面的结果的。但是这里有其它捷径。对于两个矩阵相乘的话，在反向传播时反正是另外一个项与传播过来的梯度项相乘。差别就在于位置以及翻转。这里有个小窍门，就是最后计算出梯度肯定要与原来的矩阵是同样的shape。那么这就容易了，反正组合不多。比如你要计算dW，你知道要用dD与X两个矩阵相乘就可以得到。W的shape是[5,10]，而dD的shape是[5,3]，X的shape是[10,3]。要保证dW与W的shape一致，好吧，此时只能用dD.dot(X.T)，真的没有其它选择了，那这就是对了。

活学活用：

实现一个简单的神经网络

上面我们讲了链式法则，也讲了BP的思想，并且也讲了如何对矩阵运算求梯度。下面我们基于Python中的Numpy库实现一个简单的神经网络模型，代码如下：

#程序3#
"""
一个简单两层神经网络回归模型
"""

   import numpy as np
   # batch size
    N = 32
   # 输入维度
    D = 100
   # 隐含层单元数
    H = 200
   # 输出维度
    O = 10

   # 训练样本（这里随机生成）
    X = np.random.randn(N, D)
    y = np.random.randn(N, O)
   # 初始化参数
    W1 = np.random.randn(D, H)
    b1 = np.zeros((H,))
    W2 = np.random.randn(H, O)
    b2 = np.zeros((O,))

   # 训练参数
    learning_rate = 1e-02
    iterations = 200

   # 训练过程
   for t in range(iterations):    # 前向过程
       h = X.dot(W1) + b1
       h_relu = np.maximum(h, 0)
       pred = h_relu.dot(W2) + b2    
     #定义loss，采用均方差
       loss = np.sum(np.square(y - pred))  
       print("Iteration %d loss: %f" % (t, loss))    
     # 反向过程计算梯度
       dpred = 2.0 * (pred - y)
       db2 = np.sum(dpred, axis=0)
       dW2 = h_relu.T.dot(db2)
       dh_relu = db2.dot(W2.T)
       dh = (h > 0) * dh_relu
       db1 = np.sum(dh, axis=0)
       dW1 = X.T.dot(dh)  
       # SGD更新梯度
       params = [W1, b1, W2, b2]
       grads = [dW1, db1, dW2, db2]    
     for p, g in zip(params, grads):
           p += -learning_rate * g

总结

这里我们简单介绍了梯度下降法中最重要的一部分，就是如何计算梯度。相信通过本文，大家对BP算法以及链式法则有更深刻的理解。

参考资料

cs231n教程：http://cs231n.github.io/optimization-2/