M斐波那契数列

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1534 Accepted Submission(s): 435

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下： F[0] = a F[1] = b F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

01 0

6 10 2

Sample Output

0 60

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ---》 F[n] = F[n-2]^2* F[n-3]^1----》F[n] = F[n-3]^3* F[n-4]^2----》

F[n] = F[n-4]^5* F[n-5]^3 -----......--->F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2]; //我们可以的到处a[n]为一个斐波那契数列

但是对于这样一个式子：

F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2]; 我们依旧还是不好处理哇，毕竟n<1e9这么大，这样我们不妨引用小费马引理处理....

首先我们应该知道小费马引理的定义：

形如： (a^b)mod c = a^(b mod (c-1) ) mod c;

这样，我们就可以找到这样一个方法来做这道题：

F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2]; 可以写成 F[n] = (F[2]^(a[n-1]%(mod-1))* F[1]^(a[n-2]%(mod-1)))%mod;

可以明确的是，F[2],F[1]我们事先已经知道，所以问题在于求解a[n-1],a[n-2]由于数据巨大，为了提升效率我们可以使用矩阵快速幂来求解

对于 a[n]=a[n-1]+a[n-2] a[0]=a[1]=1; 这样的斐波那契数列，我们应该不难构造出它的矩阵来

|a[n] | =|1,1|^(n-2) |a[n-1]|

|a[n-1]| |1,0|* |a[n-2]|

得到了 a[n],a[n-1]之后我们在使用一个快速幂求解 a^b 即可。

代码：

 1 //#define LOCAL
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #define LL __int64
 6 using namespace std;
 7 const int mod =1000000007;
 8 
 9 LL mat[2][2];
10 LL ans[2][2];
11 LL n,aa,bb;
12 
13 void Matrix(LL a[][2],LL b[][2])
14 {
15     LL cc[2][2]={0};
16     for(int i=0;i<2;i++)
17     {
18       for(int j=0;j<2;j++)
19       {
20           for(int k=0;k<2;k++)
21         {
22             cc[i][j]=(cc[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%(mod-1);
23         }
24       }
25     }
26     for(int i=0;i<2;i++)
27     {
28       for(int j=0;j<2;j++)
29       {
30         a[i][j]=cc[i][j];
31       }
32     }
33 }
34 
35 void pow(LL w)
36 {
37   mat[1][1]=mat[0][1]=mat[1][0]=1;
38   mat[0][0]=0;
39 
40   while(w>0)
41   {
42     if(w&1) Matrix(ans,mat);
43      w>>=1;
44      if(w==0)break;
45      Matrix(mat,mat);
46   }
47 }
48 LL pow_int(LL a,LL b)
49 {
50     LL ans=1;
51     while(b>0)
52     {
53      if(b&1){
54          ans*=a;
55          ans%=mod;
56      }
57       b>>=1;
58       if(b==0)break;
59       a*=a;
60       a%=mod;
61     }
62    return ans;
63 }
64 void input(LL w)
65 {
66      ans[0][0]=ans[1][1]=1;
67      ans[0][1]=ans[1][0]=0;
68      pow(w-2);
69      LL fn_2=(ans[0][0]+ans[0][1])%(mod-1);
70      pow(1);
71      LL fn_1=(ans[0][0]+ans[0][1])%(mod-1);
72      printf("%I64dn",(pow_int(aa,fn_2)*pow_int(bb,fn_1))%mod);
73 }
74 
75 int main()
76 {
77   #ifdef LOCAL
78    freopen("test.in","r",stdin);
79   #endif
80   while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&aa,&bb,&n)!=EOF)
81      if(n==0)printf("%I64dn",aa);
82      else if(n==1)printf("%I64dn",bb);
83      else
84         input(n);
85  return 0;
86 }

HDU----(4549)M斐波那契数列(小费马引理+快速矩阵幂)

M斐波那契数列