20210908AM

	预期	实际	delta
A	100	100	0
B	0	0	0
C	100	90	-10
D	50	90	+40
E	0	0	0
F	100	100	0
G	100	100	0
H	100	100	0
总计	550	580	+30

A 医院设置

以每个点为根算答案取最小值，其实这题可以用换根\(dp\)到\(O(n)\)，但是数据范围太小每个点一遍\(dfs\)也是够的

B 黑暗城堡

• 对于一个点x，它所有合法的父亲y都满足\(d_x=d_y+w_{x,y}\)（其中\(d_x,d_y\)是预处理的最短路），最终方案数是所有点合法父亲个数之积
• 此外，因为边权非负，有\(d_y<d_x\)，则将所有点按最短路排序后，所有可能的y都会在x前处理，所以每次只需枚举x前的点

C 繁忙的都市

题干给出三个条件：

1. 道路能将所有路口联通\(\rightarrow\)是一张连通图
2. 道路尽量少\(\rightarrow\)是一棵树
3. 边权最大值最小
   所以我们目前知道的是要建一棵树使三成立
   最初我看到最大值最小这个关键词想到的是二分答案，二分最大边权，用所有满足条件的边建图判断连通性
   然而我们也可以从小到大枚举边，如果两端点在同一个并查集就不建，否则合并....其实就是最小生成树的板子题

D 走廊泼水节

这题妙啊
首先可以很快想到新建\(u\rightarrow v\)的边边权为树上u,v两点之间最长边边权+1，那么接下来就是如何求两点之间最长边

• 我最开始想\(dfs\)的时候处理，然而\(dfs\)只会保留这个点和它的父亲，更新不了其他点
• 接下来我又想到Floyd 但是\(O(n^3)\)根本顶不住
  所以具体求两点之间的最长边是不现实的，本题其实也不需要，只需要求总数(个人认为这是这道题最重要的点)
• 因此我们维护并查集和并查集的大小，像\(kruskal\)算法一样用最小生成树的边合并并查集算答案
• 然后有一个结论：新加入的一条\(u\rightarrow v\)的边会给答案做出\((size_u*size_v-1)*(w+1)\)的贡献
• 其实很好理解，两个并查集之间需要加入\(size_u*size_v-1\)条边成为一个完全图，\(\forall x\in U,\forall y\in V\)，\(maxdis(x,y)=\max(maxdis_{x\rightarrow u},maxdis_{y\rightarrow v},w_{u\rightarrow v})\)，因为边是按边权从小到大排序， 显然最大值就是\(w_{u\rightarrow v}\)

E 最优贸易

最开始是想用\(Tarjan\)求\(v-DCC\)缩点再\(dfs\)，因为忘了\(Tarjan\)抛掉没写

考试后才知道可以直接\(dfs\)，维护每个点走能到n的点能到达的点的最大售出价，最后\(ans=\max(val_i-maxv_i)\)（相当于枚举每个点购入取最大）

F 奖金

拓扑排序板子题，如果a的工资高于b就从b向a建边，所有入度为0的点都设为最小工资，如果有一条边\(u\rightarrow v\)，那么将\(w_v\)赋值为\(w_u+1\)即可
考试后才想到一个问题，为什么不取max而是直接赋值？
其实也很简单，拓扑排序是用队列实现的，更高的工资会更后赋值，不取max不会影响答案的正确性

G 对称二叉树

我读懂题了但没完全读懂

除开一号节点，其他节点一定要么同为字母，要么同为#，以此判断即可

H 小球

数学题找规律
每个点被碰偶数次后向左，奇数次后向右，所以如果前面有k个球碰到了i号点，这个球会走到i*2+(k&1)号点

将编号-1（上文说的也是前面有几个球）再做观察，可以得到更好写的规律：

对于第\(i\)层转到第\(i+1\)层（令1号点为第0层），小球会从\(now\)转移到\(now*2+\)(\(k>>i\))&1的位置

于是递推，\(O(d)\)搞定，也可以稍微优化到\(O(\log n)\)