倍增RMQ算法

现在给你一个问题：给你一个数组 ，其中有N个数字，现在给你一次询问，给你区间[l ，r]，问你在这个区间内的最大值为多少?

其实这个问题之前学过的线段树就可以解决，我们用一个线段树去维护区间的最大值就可以了。但是！如果我们查询的次数多了，那么线段树这种解法显然不是一个最优解。所以在这里介绍一种新的解法-------ST表

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，这是一种在线算法，所谓在线算法，是指用户每次输入一个查询，便马上处理一个查询 RMQ算法一般用较长时间做预处理，时间复杂度为O(nlogn)，然后可以在O（1）的时间内处理每次查询。

我们假设数组arr为：1，2，6，8，4，3，7

我们设二维数组dp[i][j]表示从第i位开始连续个数中的最小值。例如dp[2][1]就表示从第二位数开始连续两个数的最小值（也就是从第二位数到第三位数的最小值），即2，6中的最小值，所以dp[2][1] = 2;

其实我们求 dp[i][j] 的时候可以把它分成两部分，第一部分是从 到 ，第二部分从到 ，为什么可以这么分呢？其实我们都知道二进制数前一个数是后一个的两倍，那么可以把 到 这个区间通过分成相等的两部分， 那么转移方程很容易就写出来了。（dp[i][0]就表示第i个数字本身）

dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])

由此给出下列代码：

1 void rmq_init(){
2     for (int i=1;i<=n;i++)
3         dp[i][0] = a[i];
4     for (int j=1;(1<<j)<=n;j++){
5         for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
6             dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]) 
7         }
8     }
9 }

这里需要注意一个循环变量的顺序，我们看到外层循环变量为j，内层循环变量为i，这是为什么呢？可以互换一下位置吗？

答案当然是不可以，我们要理解这个状态转移方程的意义，这个状态方程的含义是：先更新每两个元素中的最小值，然后通过每两个元素的最小值获得每4个元素中的最小值，依次类推更新所有长度的最小值。

稍微解释下这个程序的边界条件怎么去确定的：

(1<<j) <=n  ： 因为j其实就是体现了这个程序的一个精髓->倍增，显然我的长度不能超过数组的长度啊

(i+(1<<j)-1)<=n  ：因为dp[i][j] 维护的区间是 [i,i+2^j-1] ，所以右端不可以越界

接下来我们来讲解RMQ的查询部分

假设我们需要查询区间[l ，r]中的最小值，令k =

则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);

但是为什么这样就可以保证是区间最小值了呢？

dp[l][k]维护的是区间 [l, l + 2^k - 1] , dp[r - (1 << k) + 1][k]维护的是区间 [r - 2^k + 1, r] 。

那么只要我们保证   ≤ 

就能保证RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k])；

这里你们可以去手推一下

1 int rmq(int l,int r){
2     int k = log2(r-l+1);
3     return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
4 }

这就是倍增RMQ算法，我是以区间最小值为例，区间最大值其实也是一样就不多说了。

当初我是看到这个博客弄懂了倍增RMQ：https://blog.csdn.net/qq_41311604/article/details/79900893

原文地址：https://www.cnblogs.com/-Ackerman/p/11311543.html