CF1182E Product Oriented Recurrence
CF1182E Product Oriented Recurrence
有一个递推式 \(f_x=c^{2x-6}\cdot f_{x-1}\cdot f_{x-2}\cdot f_{x-3}\;\;(x\ge4)\)
给定 \(n,\ f_1,\ f_2,\ f_3,\ c\) ,求 \(f_n\bmod(10^9+7)\)
\(n\leq10^{18},\ c,\ f_1,\ f_2,\ f_3\in[1,\ 10^9]\)
矩阵加速
看到递推式很容易联想到矩阵加速,但是矩阵无法便捷地处理这种递推式。由于该递推式是一些数的乘积的形式,因此可以考虑求出每一项的指数
令 \(a_{i,\ 1/2/3}\) 表示 \(f_i\) 由多少个 \(f_{1/2/3}\) 的乘积组成,可以发现 \(a_{i,\ j}=a_{i-1,\ j}+a_{i-2,\ j}+a_{i-3,\ j}\) ,初值为 \(a_{1,\ 1}=a_{2,\ 2}=a_{3,\ 3}=1\) ,可以使用矩阵加速
令 \(g_i\) 为 \(f_i\) 由多少个 \(c\) 的乘积组成,递推式即为 \(g_i=g_{i-1}+g_{i-2}+g_{i-3}+2i-6\) ,初值 \(g_i=0\) ,可以使用矩阵加速,求出的矩阵即为 \(\begin{bmatrix}0&0&0&8&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&1&0&0&0\\1&0&1&0&0\\1&0&0&0&0\\1&0&0&1&0\\-6&0&0&2&1\end{bmatrix}^{n-3}\)
接下来就可以用快速幂还原答案,但是由于指数可能过大,因此得将指数 \(\operatorname{mod} \varphi(10^9+7)=10^9+6\)
时间复杂度 \(O(\log n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P = 1e9 + 7, mod = 1e9 + 6;
ll n;
#define rep(i) for (int i = 0; i < 5; i++)
struct matrix {
int array[5][5];
inline void clr() {
memset(array, 0, sizeof array);
}
inline int* operator [] (int pos) {
return array[pos];
}
} E, A, M;
inline matrix operator * (matrix a, matrix b) {
static matrix s;
s.clr();
rep(i) rep(j) rep(k) s[i][j] = (s[i][j] + 1ll * a[i][k] * b[k][j]) % mod;
return s;
}
inline qp(int a, int k) {
int res = 1;
for (; k; k >>= 1, a = 1ll * a * a % P) {
if (k & 1) res = 1ll * res * a % P;
}
return res;
}
inline matrix qp(matrix a, ll k) {
matrix res = E;
for (; k; k >>= 1, a = a * a) {
if (k & 1) res = res * a;
}
return res;
}
inline int calc(int x) {
A.clr(), A[0][x] = 1;
return (A * qp(M, n - 3))[0][0];
}
int main() {
int c, f1, f2, f3;
scanf("%I64d %d %d %d %d", &n, &f1, &f2, &f3, &c);
rep(i) E[i][i] = 1;
M[0][0] = M[0][1] = M[1][0] = M[2][0] = M[1][2] = 1;
int c1 = calc(2);
int c2 = calc(1);
int c3 = calc(0);
A.clr(), A[0][3] = 8, A[0][4] = 1;
M[4][3] = 2, M[4][0] = -6, M[3][0] = M[3][3] = M[4][4] = 1;
int cnt = (A * qp(M, n - 3))[0][0];
int ans = 1ll * qp(f1, c1) * qp(f2, c2) % P * qp(f3, c3) % P * qp(c, cnt) % P;
printf("%d", ans);
return 0;
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/Juanzhang/p/11007468.html
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