多项式问题之四——多项式对数
时间:2019-06-12
本文章向大家介绍多项式问题之四——多项式对数,主要包括多项式问题之四——多项式对数使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。
问题:已知一个次数为$n-1$的多项式$F(x)$,求一个多项式$G(x)$使得$G(x)\equiv ln(F(x))$($mod$ $x^{n}$)
(保证$F(x)$常数项为1)
这个比较简单:
两边求导,得:
$G^{'}(x)\equiv \frac{F^{'}(x)}{F(x)}$($mod$ $x^{n}$)
右侧都已知,直接多项式求逆计算出来即可
然后两边做不定积分,本来会有一个常数项,但是考虑到$ln(F(0))=ln1=0=C$,因此常数项直接为0即可
代码:
#include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #define ll long long using namespace std; const ll mode=998244353; ll f[100005]; ll g[100005]; int to[(1<<20)+5]; int n; int lim=1,l=0; ll pow_mul(ll x,ll y) { ll ret=1; while(y) { if(y&1)ret=ret*x%mode; x=x*x%mode,y>>=1; } return ret; } void NTT(ll *a,int len,int k) { ll inv=pow_mul(len,mode-2); for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]); for(int i=1;i<len;i<<=1) { ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1)); for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)) { ll w=1; for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode) { ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w%mode; a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode; } } } if(k==-1) { for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]); for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode; } } ll a[(1<<20)+5],b[(1<<20)+5],c[(1<<20)+5]; void get_inv(ll *f,ll *g,int dep) { if(dep==1) { g[0]=pow_mul(f[0],mode-2); return; } int nxt=(dep+1)/2; get_inv(f,g,nxt); int lim=1,l=0; while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++; for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1))); for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0; for(int i=0;i<dep;i++)a[i]=f[i]; for(int i=0;i<nxt;i++)b[i]=g[i]; NTT(a,lim,1),NTT(b,lim,1); for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=a[i]*b[i]%mode*b[i]%mode; NTT(c,lim,-1); for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=((2*g[i]-c[i])%mode+mode)%mode; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]); get_inv(f,g,n); for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",g[i]); printf("\n"); return 0; }
原文地址:https://www.cnblogs.com/zhangleo/p/11010374.html
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