非线性方程求解的常用方法

公式法

对于一元二次方程的一般形式：\(ax^2 + bx + c = 0\)

可以使用韦达公式来求方程的两个实数解\(x = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) ，两根之积\(x_1 * x_2 = \frac{c}{a}\)，当Δ<0时，得到的是不相等的两个虚数根，\(x = \frac{-b+i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\)，一元三次方程有卡尔丹公式和盛金公式。

二分逼近法

对一元二次方程f(x)来说，给定区间[a, b]，如果f(a)<0, f(b)>0，则可以按照下列方法进行逼近：

1. 如果\(f(\frac{a+b}{2})= 0\)，则\(\frac{a+b}{2}\)就是零点；
2. 如果\(f(\frac{a+b}{2}) < 0\)，则零点在区间\([\frac{a+b}{2}, b]\)上，令\(a = \frac{a+b}{2}\)，继续从第1步开始判断；
3. 如果\(f(\frac{a+b}{2}) > 0\)，则零点在区间\([a, \frac{a+b}{2}]\)上，令\(b = \frac{a+b}{2}\)，继续从第1步开始判断。

通常只要在精度允许的范围内逼近零时就可以结束二分逼近的过程。二分法的局限在于不能计算复根和重根。

牛顿迭代法

牛顿迭代法的数学原理

在x轴找一点\(x_0\)，过点\(x_0\)垂直于x轴做垂线，交\(f(x)\)于点\(f(x_0)\)，然后再过\(f(x_0)\)点做函数的切线，得到切线与x轴的交点记为\(x_{n+1}\)，一直循环下去，最终会得到根的近似值：

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]

此方法也可以用来根号的值，比如要求\(\sqrt c\)的值，可以构造一个函数\(f(x) = x^2 -c\)，求这个函数的右根即是得到$\sqrt c $的值。利用公式，

\[设x_n = t，则 x_{n+1} = t - \frac{t^2 - c}{2t} = \frac{t+\frac{c}{t}}{2}\]

得到的\(x_{n+1 }\)设为新的t，带入公式，一直等到误差小于特定的值，再返回答案，得到的t就是开根的值。初始时可以令t=c，便于计算。这段函数的代码如下：

public static double sqrt(double c) {
    if(c < 0)
        return Double.NaN;
    double err = 1e-15;
    double t = c;
    while(Math.abs(t-c/t) > err*t)
        t = (c/t+t) / 2.0;
    return t;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/itero/p/11007397.html