题解 P2024 【食物链】

本题解适合于并查集初学者（不要有想法），建议嫌文章冗长的巨佬们阅读其他题解。

引入

并查集能维护连通性、传递性，通俗地说，亲戚的亲戚是亲戚。

然而当我们需要维护一些对立关系，比如 敌人的敌人是朋友 时，正常的并查集就很难满足我们的需求。

这时，种类并查集就诞生了。

常见的做法是将原并查集扩大一倍规模，并划分为两个种类。

在同个种类的并查集中合并，和原始的并查集没什么区别，仍然表达他们是朋友这个含义。

考虑在不同种类的并查集中合并的意义，其实就表达 他们是敌人 这个含义了。

按照并查集美妙的 传递性，我们就能具体知道某两个元素到底是 敌人 还是 朋友 了。

至于某个元素到底属于两个种类中的哪一个，由于我们不清楚，因此两个种类我们都试试。

具体实现，详见 P1525 关押罪犯。

概念解释

再来看本题，每个动物之间的关系就没上面那么简单了。

对于动物 xx 和 yy ，我们可能有 xx 吃 yy ， xx 与 yy 同类， xx 被 yy 吃。

但由于关系还是明显的， 11 倍大小、 22 倍大小的并查集都不能满足需求， 33 倍大小不就行了！

类似上面，我们将并查集分为 33 个部分，每个部分代表着一种动物种类。

设我们有 nn 个动物，开了 3n3n 大小的种类并查集，其中 1 \sim n1∼n 的部分为 AA 群系， n + 1 \sim 2nn+1∼2n 的部分为 BB 群系， 2n + 1 \sim 3n2n+1∼3n 的部分为 CC 群系。

我们可以认为 AA 表示中立者， BB 表示生产者， CC 表示消费者。此时关系明显： AA 吃 BB ， AA 被 CC 吃。

当然，我们也可以认为 BB 是中立者，这样 CC 就成为了生产者， AA 就表示消费者。（还有 11 种情况不提及了）

联想一下 22 倍大小并查集的做法，不难列举出：当 AA 中的 xx 与 BB 中的 yy 合并，有关系 xx 吃 yy ；当 CC 中的 xx 和 CC 中的 yy 合并，有关系 xx 和 yy 同类等等……

但仍然注意了！我们不知道某个动物属于 AA ， BB ，还是 CC ，我们 33 个种类都要试试！

也就是说，每当有 11 句真话时，我们需要合并 33 组元素。

容易忽略的是，题目中指出若 xx 吃 yy ， yy 吃 zz ，应有 xx 被 zz 吃。

这个关系还能用种类并查集维护吗？答案是可以的。

若将 xx 看作属于 AA ，则 yy 属于 BB ， zz 属于 CC 。最后，根据关系 AA 被 CC 吃可得 xx 被 zz 吃。

既然关系满足上述传递性，我们就能放心地使用种类并查集来维护啦。

图片解释

理论太难懂？那就结合数据和图片来解释吧！

假如我们有以下的输入数据：

4 5
1 1 3
2 2 4
2 3 2
1 1 4
2 2 1

因为涉及 4 个动物（ n = 4n=4 ），所以构建初始并查集如下图：

先看第 11 句话：动物 11 和 33 是同类的。

我们可以在 33 个群系中分别给 11 和 33 的集合合并，以表示动物 11 和 33 是一定友好的。

再看第 22 句话：动物 22 吃 44 。

显然这不是矛盾的。但我们不知道 22 和 44 对应 AA ， BB ， CC 中的哪个，所以我们只能根据 AA 吃 BB ，合并 AA 群系中的 22 和 BB 群系中的 44 ；再根据 BB 吃 CC 和 CC 吃 AA ，作出对应的处理。结果如下所示：

接着看第 33 句话：动物 33 吃 22 。这是句真话，具体的真假话判断方法看下面两句话。我们暂且先作出以下处理：

第 44 句话中，表明 11 和 44 是同类动物。此时我再解释如何判断话的真假。

对于同类动物，我们转换一下，如果我们知道 11 不吃 44 且 44 不吃 11 ，他们不就同类了吗？

好，那我们的任务就变成：如何判断动物 xx 吃动物 yy ？

反观第 22 句话，我们知道如果要表示动物 xx 吃动物 yy ，只要根据 AA 吃 BB ，把 AA 群系中的 xx 和 BB 群系中的 yy 合并即可。另外 22 次合并暂不讨论。

那反过来，如果 AA 群系中的 xx 已经和 B 群系中的 yy 在同一集合中了，不就表示了动物 xx 吃动物 yy 吗？

于是，我们看到上面那张图， BB 群系中的 11 按照并查集的递归操作，找出自己的终极上级是 AA 群系中的 44 。

分析其含义，属于 BB 群系的 11 已经与 AA 群系的 44 ，应有 44 吃 11 ，而非同类。第 44 句话是假的。

那么第 55 句话， 22 吃 11 。我们需要判断 22 和 11 是否是同类并且 22 是否被 11 吃即可。

判断是否同类，我们同样可以反过来：判断在同个群系中的 22 和 11 的集合是否已经合并。

得出 22 和 11 不是同类后，我们再看 11 是否吃 22 。看图， AA 群系中的 11 和 BB 群系中的 22 在同一集合中。

得出 11 吃 22 。第 55 句话也是假话。

因此，答案就是有两句假话。输出 22 ，问题完美解决。

注意事项

• 种类并查集求的并非具体种类，而是关系！

• 在代码过程中，不要忘了特判编号大于 nn 的情况！

代码实现

如果还没有理解，只能使用最终办法了，上程序！

（当然我还是希望各位摸清种类并查集的本质，灵活运用）

#include <cstdio>

inline int read() {
    char c = getchar(); int n = 0;
    while (c < '0' || c > '9') { c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { n = (n << 1) + (n << 3) + (c & 15); c = getchar(); }
    return n;
}

const int maxN = 100005;

int n, m, ans, fa[maxN * 3];

int find(int u) { return fa[u] == u ? u : fa[u] = find(fa[u]); }

int main() {
    n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i <= n * 3; i++) { fa[i] = i; }
    for (; m; m--) {
        int opt = read(), u = read(), v = read();
        if (u > n || v > n) { ans++; continue; }
        if (opt == 1) {
            if (find(u + n) == find(v) || find(u) == find(v + n)) { ans++; }
            else {
                fa[find(u)] = find(v);
                fa[find(u + n)] = find(v + n);
                fa[find(u + n + n)] = find(v + n + n);
            }
        } else {
            if (find(u) == find(v) || find(u) == find(v + n)) { ans++; }
            else {
                fa[find(u + n)] = find(v);
                fa[find(u + n + n)] = find(v + n);
                fa[find(u)] = find(v + n + n);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

撰文不易，不适轻喷！

原文地址：https://www.cnblogs.com/tzr-skywalker/p/11011240.html