洛谷 - P1829 - Crash的数字表格 - 莫比乌斯反演

求：
\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)\)

显然：
\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}\)

枚举g：
\(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}\frac{1}{g}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==g]\)

除以g：
\(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}g\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{g}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{g}\rfloor}ij[gcd(i,j)==1]\)

记：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==1]\)

原式：
\(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}gS_1(\lfloor\frac{n}{g}\rfloor,\lfloor\frac{m}{g}\rfloor)\)

化简\(S_1(n,m)\)，显然：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij\sum\limits_{k|gcd(i,j)}\mu(k)\)

枚举k：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[k|gcd(i,j)]\)

显然：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[k|i][k|j]\)

这种时候可以除以k：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}ij[1|i][1|j]\)

即：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}ij\)

记：
\(S_2(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij\)

原式：
\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2S_2(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)\)

显然：
\(S_2(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}i\sum\limits_{j=1}^{m}j\)

即：
\(S_2(n,m)=\frac{1}{4}n(n+1)m(m+1)\)

原文地址：https://www.cnblogs.com/Yinku/p/11004169.html