欧拉函数

$\varphi(x)$表示$x$以内与$x$互质的个数
$\varphi(x)=x*\prod\limits_{i=1}^n(1-\dfrac{1}{p_i})$ $p_i$为x的质因数
特殊的 $\varphi(1)=1$

其中$p_1,p_2……p_n$为$x$的所有质因数($x$是正整数)
那么，怎么理解这个公式呢?
对于$x$的一个质因数$p_i$，因为$x$以内$p_i$的倍数是均匀分布的，所以$x$以内有$\frac {1}{p_i}$的数是$p_i$的倍数
对应的，有$1-\dfrac {1}{p_i}$的数不是$p_i$
同理，对于$p_j$有$1-\frac {1}{p_j}$的数不是$p_j$的倍数
所以有$(1-\frac {1}{p_i})*(1-\frac {1}{p_j})$的数既不是$p_i$的倍数，又不是$p_j$的倍数

积性函数

当有函数$f(x)$，$m$与$n$互质时，$f(m)*f(n)=f(m*n)$称为积性函数
对任意整数$m$与$n$，$f(m)*f(n)=f(m*n)$称为完全积性函数

欧拉函数的性质

对于质数$p$，$\varphi(p)=p-1$
证明：这貌似不需要证明吧qwq
对于质数p，$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$
证明：$\varphi(p^k)=p^k*(1-\dfrac{1}{p})$
欧拉函数是积性但飞完全积性函数，对于$m$与$n$互质时，有$\varphi(m)*\varphi(n)=\varphi(m*n)$
特殊的，$m=2$且$n$为奇数，$\varphi(m)*\varphi(n)=\varphi(n)$
证明：$m$与$n$互质，说明没有公共质因数，$m*n$质因数为$m$的质因数+$n$的质因数
当$n>2$时，$\varphi(n)$为偶数
证明：有基本事实$gcd(a,b)=1$ $gcd(a,a-b)=1$，说明质因数都是成对出现的
对于小于$n$且与$n$互质的数，总和=$\varphi(n)*n/2$
证明：对于与$n$互质的数$m$，有对立的$n-m$与$n$互质，$m$与$n-m$的平均数又为$n/2$，$\varphi(n)$又为偶数
$n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$
设函数$F(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$
若$m$与$n$互质
$F(m)*F(n)=\sum\limits_{i|m}\varphi(i)*\sum\limits_{j|n}\varphi(j)$
$=\varphi(i_1)*\varphi(j_1)+\varphi(i_1)*\varphi(j_2).....+\varphi(i_{km})*\varphi(j_{kn})$
$=\varphi(i_1*j_1)+\varphi(i_1*j_2).....+\varphi(i_{km}*j_{kn})$ m与n互质，故因数也必全互质
$=\sum\limits_{k|m*n}\varphi(k)$ 可以发现，$i_1*j_1,i_1*j_2.....i_{km}*j_{kn}$这些数为$n*m$的因数
$=F(m*n)$
设合数$n=p1^{k1}*p2^{k2}.....*pm^{km}$则$F(n)=F(p1^{k1}*F(p2^{k2}).....*F(pm^{km}))$
利用性质2易证$F(pm^{km})=pm^{km}$，则$F(n)=p1^{k1}*p2^{k2}.....*pm^{km}=n$

求欧拉函数

单个：$2$~$\sqrt{(n)}$扫一遍就好了，素数怎么求这个就怎么求
要是求<=n所有数的欧拉函数呢？
埃拉托斯特尼筛求欧拉函数 $O(n(log(n))(loglogn))$
就是普通的找质数，把倍数都筛一遍(质因数的贡献)

void euler(int n){
    for(int i=1;i<=n;++i) 
        phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (phi[i]==i)//i是质数
            for (int j=i;j<=n;j+=i)//把i的倍数筛一遍
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

欧拉筛求欧拉函数 $O(n)$
先来了解一下欧拉筛

for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i])//不是目前找到的素数的倍数 
        prime[cnt++]=i;//找到素数~ 
    for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
        vis[i*prime[j]]=true;//找到的素数的倍数不访问 
        if(i%prime[j]==0) 
            break;//关键！！！！ 
    }
}

很多人对 $ if(i%prime[j]==0) break; $ 这一句都不太理解
找到一种很好的解释：
当$i$是$prime[j]$的倍数时，$i=k*prime[j]$，如果继续运算 $j+1$，$i*prime[j+1]=prime[j]*k*prime[j+1]$
这里$prime[j]$是最小的素因子，当$i=k*prime[j+1]$时会重复
这里是利用最小素因子优化，使得欧拉筛达到了优秀的线性$O(n)$
下面正式求欧拉函数啦

void euler(int n){
    phi[1]=1;//1要特判 
    for (int i=2;i<=n;i++){
    if(flag[i]==0)//这代表i是质数 
    {
        prime[++num]=i;
        phi[i]=i-1;
    }
    for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)//经典的欧拉筛写法 
    {
        flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
        if (i%prime[j]==0){
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
            break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
        }else 
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
    }
    }
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/y2823774827y/p/10204471.html