古董键盘 - 码农教程

问题描述

小扣在秋日市集购买了一个古董键盘。由于古董键盘年久失修，键盘上只有 26 个字母 a~z 可以按下，且每个字母最多仅能被按 k 次。

小扣随机按了 n 次按键，请返回小扣总共有可能按出多少种内容。由于数字较大，最终答案需要对 1000000007 (1e9 + 7) 取模。

示例 1：

输入：k = 1, n = 1

输出：26

解释：由于只能按一次按键，所有可能的字符串为 "a", "b", ... "z"

示例 2：

输入：k = 1, n = 2

输出：650

解释：由于只能按两次按键，且每个键最多只能按一次，所有可能的字符串（按字典序排序）为 "ab", "ac", ... "zy"

提示：

1 <= k <= 5
1 <= n <= 26*k

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/Uh984O
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大体思路

可以认为26个字母就是26种物品，其中每种物品的数量都为k。定义dp[i] [j] 为可选i种字母组成长度为j的字符串数目。

dp[26] [n]即为所求。

转移方程

dp[i][j] = sum_{x = 0}^{k} dp[i - 1][j - x] * C_{j}^{x}

x指的是当前选择x个i字母，C（j, x）表示从j个位置中选择x个位置用于存放字母i。因此只需要从0到k枚举x即可。

baseline：

dp[i][0] = 1 quad iin[0,26]\dp[0][j] = 0 quad iin[1,n]

第一个式子含义为使用i个字符构成长度为0的字符串数目只有一种；

第二个式子含义为当使用0个字符是不可能构成长度大于0的字符串，因此为0。

此外对于C（j, x）可以通过离线打表的方式获得，其递推式为C（n, m） = C（n - 1, m） + C（n-1，m-1）。

class Solution {
    int mod = (int)1e9 + 7;
    public int keyboard(int k, int n) {
        int[][] C = new int[n + 1][n + 1];
        init(C);
        // dp[i][j] 表示使用 i 个单词，组成长度为j 的序列数目
        long[][] dp = new long[27][n + 1];
        for(int i = 0; i <= 26; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        // dp[0][j] = 0 j != 0
        for(int i = 1; i <= 26; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                for(int x = 0; x <= k; x++){
                    if(j - x < 0){
                        break;
                    }
                    dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j - x] * C[j][x];
                }
                dp[i][j] %= mod;
            }
        }
        return (int)dp[26][n];
    }
    public void init(int[][] C){
        for(int i = 1; i < C.length; i++){
            C[i][0] = 1;
            for(int j = 1; j < i; j++){
                C[i][j] = (int)(((long)C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod);
            }
            C[i][i] = 1;
        }
    }
}