Day 7:斐波那契数列

剑指Offer_编程题——斐波那契数列

题目描述：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始，第0项为0)。n<=39

具体要求：

时间限制： C/C++ 1秒，其他语言2秒 空间限制： C/C++32M，其他语言64M

具体思路：

概念介绍   斐波那契数列是一个很经典的问题，大多学计算机的都知道，它是由著名数学家列昂纳多·斐波那契而命名的。它也称之为黄金分割数列。它的由来是从兔子的繁殖而引进来的，因此也称之为“兔子数列”。从第三项起，前两项之和即为第三项，其通项为F(n) = F(n - 1)+ F(n - 2).例如：这样的一个数列：1 1 2 3 5 8 13 21 34……就是斐波那契数列。 实现思路   实现斐波那契数列需要进行经典的算法——递归。但是递归也是有技巧，如果我们只是单纯的进行递归，不进行任何的优化，则时间和空间复杂度为指数级别的，随着n的不断增长，时间的消耗和空间呈爆炸型增长。因此即使我们用递归也要对通项进行优化。其实在计算过程中，我们不难发现，前两项这和为第三项，之所以直接递归有那么大的复杂度，是因为它每计算新的一项，总会重复计算前一项，因此，我们只需要定义一个新的变量来保存这个之前计算好的值，时间和空间复杂度就降下来了。 我们分别用java和python来实现这个思路。 1、我们首先用java来实现这个代码

public class Solution{
	public int Fibonacci(int n){
		if (n <= 1){
			return n;
		}
			int res = 0;
			int n1 = 0;
			int n2 = 1;
			for(int i = 2; i <= n; i++){
				res = (n1 + n2);
				n1 = n2;
				n2 = res;
			}
				return res;
	}
}

代码效果图如图所示：

2、我们用Python来实现

class Solution:
	def Fibonacci(self, n):
		a = 0
		b = 1
		for i in range(n):
			a, b = b ,a + b
		return a

其效果图如图所示：

  我们可以通过改善一下以上的代码，适当的缩减代码的运行时间复杂度，当然，空间就比之前的要占用多了，这就是典型的“以空间换时间”的思想。具体改进代码如下：

class Solution:
	def Fibonacci(self, n):
		a, b = 0, 1
		for i in range(n):
			a, b = b, a + b
		return a

其效果图如图所示：

  与上面的代码相比较，只是优化了一行代码，时间复杂度确降低了接近一半，当然与之对应的空间就扩大了将近一倍。

总结

  本道题通过一个典型的斐波那契数列问题来考察我们对递归的应用，因此在做该题之前，我们应该了解斐波那契数列，其次要熟练掌握递归思想。在最后我们运用了常见的“以空间换时间”的思想来改进了算法，其效果很明显。继续加油，争取早日找到工作，Good Luck！！！