知识卡片 信息熵

前言：本文讲解了机器学习需要用到的信息论中关于信息熵的知识，并用代码演示如何计算信息熵和互信息。

信息熵 Information Entropy

信息论中的熵(entropy)

信息熵

log(1/p)的图像如下，是单调递减函数，不确定性越大，事件发生的概率越小。需要指出的是，H(U)式子中的对数是以2为底数，信息熵的单位是比特；在sklearn中，以自然对数e为底。

交叉熵 cross entropy

交叉熵在神经网络中可以作为损失函数，用于衡量模型预测和真实的差异。

相对熵 relative entropy

应用举例：

条件概率中，以B来模拟A的真实情况所需要的相对熵更小，更接近真实。

相对熵的性质：

相对熵看似可以度量距离，实际上不具有对称性，也不满足三角不等式，因而不能度量距离。「KL散度」有时也被称为『KL距离』，实际上它度量不是真正的距离，度量的是两个分布的相似程度。

JS散度

联合熵 Joint Entropy

条件熵 the conditional entropy

推导公式中，yj是某个已知的随机变量的分布，红色和蓝色部分的推导公式，用条件概率公式换算，最后得到的蓝色式子由对数相除变减法，拆开后分别符合联合熵和信息熵的定义。

互信息 Mututal Information

式中红色是互信息的定义，蓝色为推导，互信息具有对称性 I(x,y) = I(y,x)。

文氏图图解

左右两边各位X和Y的信息熵也可以称为边缘熵，红色和蓝色圆圈的部分是X和Y的条件熵，中间紫色部分是互信息，两个圆重叠的部分是联合熵。

代码演示-信息熵和互信息的计算

演示内容：香农信息熵的计算(例1和例2分别为两种不同类型的输入)以及互信息的计算（例3）。其中log默认为自然对数。

代码如下：

import numpy as np

from math import log

#例1：计算信息熵（x1,x2,x3 已知概率分布）

print("例1：")

def calc_ent(x):

ent = 0.0 # entropy 熵

for p in x:

ent -= p * np.log(p) # 信息熵计算公式

return ent

x1=np.array([0.4, 0.2, 0.2, 0.2]) # 概率分布 第一个信号的概率0.4 ....

x2=np.array([1]) # 肯定发生

x3=np.array([0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]) # 五个信号发生的概率相同

print ("x1的信息熵:", calc_ent(x1))

print ("x2的信息熵:", calc_ent(x2))

print ("x3的信息熵:", calc_ent(x3))

print("")

'''

例1：
x1的信息熵: 1.3321790402101223
x2的信息熵: 0.0
x3的信息熵: 1.6094379124341005

'''

#例2：计算信息熵（此时给定了信号发生情况,需要要计算概率)

print("例2：")

def calcShannonEnt(dataSet):

length,dataDict=float(len(dataSet)),{}

# 获取数据集长度，字典存放信号名称和次数

for data in dataSet: # 遍历数据集，统计各事件发生的次数

try:dataDict[data]+=1

except:dataDict[data]=1

return sum([-d/length*log(d/length) for d in list(dataDict.values())])

# 例2中x1,x2,x3的信号发生的概率和例一种x1,x2,x3的概率相同

print("x1的信息熵:", calcShannonEnt(['A','B','C','D','A']))

print("x2的信息熵:",calcShannonEnt(['A','A','A','A','A']))

print("x3的信息熵:",calcShannonEnt(['A','B','C','D','E']))

'''

例2：
x1的信息熵: 1.3321790402101223
x2的信息熵: 0.0
x3的信息熵: 1.6094379124341005

'''

#例3:计算互信息(输入：给定的信号发生情况,其中联合分布手工给出)

print("")

print("例3：")

# 根据互信息的计算公式，I(x;y)=H(x)+H(y)-H(x,y),仍然使用例2中的函数

Ent_x4=calcShannonEnt(['3', '4', '5', '5', '3', '2', '2', '6', '6', '1'])

Ent_x5=calcShannonEnt(['7', '2', '1', '3', '2', '8', '9', '1', '2', '0'])

Ent_x4x5=calcShannonEnt(['37', '42', '51', '53', '32', '28', '29', '61', '62', '10', '37', '42'])

MI_x4_x5=Ent_x4+Ent_x5-Ent_x4x5

print ("x4和x5之间的互信息:",MI_x4_x5)

'''

例3：

x4和x5之间的互信息: 1.3285817292263604