R语言蒙特卡洛计算和快速傅立叶变换计算矩生成函数

时间:2022-07-22
本文章向大家介绍R语言蒙特卡洛计算和快速傅立叶变换计算矩生成函数,主要内容包括其使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

原文链接:http://tecdat.cn/?p=13734


对精算科学来说,当我们处理独立随机变量的总和时,特征函数很有趣,因为总和的特征函数是特征函数的乘积。 

  • 介绍

在概率论中,让 

 对于 

 和 

 对于 

 是一些随机变量的累积分布函数 

,即 

。什么是矩生成函数 

,即 

 ?

如何编写 

 ?

在概率教科书中,标准答案是

  • 如果 

 是离散的

  • 如果 

 (绝对)连续,

 是的密度 

。这里, 

 显然不是离散变量。但是是连续的。需要绘制该分布函数以查看, 

, 对所有 

我们有一个不连续的0。因此,我们在这里必须谨慎一些: 

 既不是连续的也不是离散的。让我们使用公式,

如果也可以写 

这只是说总体平均值是每个子组平均值的重心。

 然后让 

 而 

)。

让我们考虑三个不同的组成部分。

(因为它是一个实值常量),在这里 

所以最后,我们计算 

。观察一下 

 给定 

 是具有密度的(绝对)连续随机变量。观察所有 

和 

,即 

 给定 

 是指数分布。

因此, 

 是指数变量和Dirac质量之间的混合 

。这实际上是问题的棘手部分,因为当我们看到上面的公式时,它并不明显。

从现在开始,这是高中阶段的计算,

如果 

 。如果把所有的放在一起

  • 蒙特卡洛计算

可以使用蒙特卡洛模拟来计算该函数,

> F=function(x) ifelse(x<0,0,1-exp(-x)/3)> Finv=function(u) uniroot(function(x) F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root

或(以避免不连续的问题)

> Finv=function(u) ifelse(3*u>1,0,uniroot(function(x)+ F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root))

在这里,逆很容易获得,因此我们可以使用

然后,我们使用

> plot(u,v,type="b",col='blue')> lines(u,Mtheo(u),col="red")

蒙特卡洛模拟的问题在于,仅当它们有效时才应使用它们。我可以计算

> M(3)[1] 5748134

有限总和始终可以通过数字计算。就算在这里 

 不存在。就像Cauhy样本的平均值一样,即使期望值不存在,我也总是可以计算出来

> mean(rcauchy(1000000))[1] 0.006069028

这些生成函数在存在时会很有趣。也许使用特征函数是一个更好的主意。

  • 生成函数

首先,让我们定义那些函数。

如果 

 足够小。

现在,如果我们使用泰勒展开式

如果我们看一下该函数在0点的导数的值,那么

 可以为某些随机矢量在更高维度上定义一个矩生成函数 

如果要导出给定分布的矩,则一些矩生成函数很有趣。另一个有趣的特征是,在某些情况下,此矩生成函数(在某些条件下)完全表征了随机变量的分布。 

 对所有人 

, 然后 

  • 快速傅立叶变换

回想一下欧拉公式,

因此,看到傅立叶变换就不会感到惊讶。从这个公式,我们可以写

使用傅立叶分析中的一些结果,我们可以证明概率函数满足

也可以写成

如果在点处的分布是绝对连续的,则可以获得类似的关系 

实际上,我们可以证明,

然后可以使用1951年获得的吉尔-佩莱阿兹(Gil-Peleaz)的反演公式来获得累积分布函数,

这意味着,在金融市场上工作的任何人都知道用于定价期权的公式(例如,参见  Carr&Madan(1999)  )。好处是,可以使用任何数学或统计软件来计算这些公式。

  • 特征函数和精算科学

对精算科学来说,当我们处理独立随机变量的总和时,特征函数很有趣,因为总和的特征函数是特征函数的乘积。考虑计算Gamma随机变量复合和的99.5%分位数的问题,即

 和 

。策略是分散损失金额,

然后,要计算的代码 

, 我们用

 99.5%分位数

> sum(cumsum(f)<.995)

考虑以下损失金额

> print(X[1:5])[1] 75.51818 118.16428 14.57067 13.97953 43.60686

让我们拟合一个伽玛分布。我们可以用

      shape         rate      1.309020256   0.013090411  (0.117430137) (0.001419982)
> alpha[1] 1.308995> beta[1] 0.01309016

无论如何,我们都有个人损失的Gamma分布参数。并假设泊松计数变量的均值为

> lambda <- 100

同样,可以使用蒙特卡洛模拟。我们可以使用以下通用代码:首先,我们需要函数来生成两种感兴趣的变量,

如果我们生成一百万个变量,我们可以得到分位数的估算,

> set.seed(1)> quantile(rcpd4(1e6),.995)   99.5% 13651.64

另一个想法是记住Gamma分布的比例:独立Gamma分布的总和仍然是Gamma(在参数上有附加假设,但在此我们考虑相同的Gamma分布)。因此,可以计算复合和的累积分布函数,

如果我们求解那个函数,我们得到分位数

> uniroot()$root[1] 13654.43

这与我们的蒙特卡洛计算一致。现在,我们也可以在此处使用快速傅立叶变换,

> sum(cumsum(f)<.995)[1] 13654

让我们比较获得这三个输出的计算时间

> system.time       user      system     elapsed       2.453       0.106       2.611 > system.time       user      system     elapsed      0.041       0.012       0.361 > system.time       user      system     elapsed      0.527       0.020       0.560