O、Θ、Ω、o、ω,别再傻傻分不清了!
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前言
你好,我是彤哥,一个每天爬二十六层楼还不忘读源码的硬核男人。
前面几节,我们一起学习了算法的复杂度如何分析,并从最坏、平均、最好以及不能使用最坏情况全方位无死角的剖析了算法的复杂度,在我们表示复杂度的时候,通常使用大O来表示。
但是,在其他书籍中,你可能还见过Θ、Ω、o、ω等符号。
那么,这些符号又是什么意思呢?
本节,我们就来解决这个问题。
读音
我们先来纠正一波读音:
- O,/əʊ/,大Oh
- o,/əʊ/,小oh
- Θ,/ˈθiːtə/,theta
- Ω,/oʊˈmeɡə/,大Omega
- ω,/oʊˈmeɡə/,小omega
是不是跟老师教得不太一样^^
数学解释
Θ
Θ定义了一种精确的渐近行为(exact asymptotic behavior),怎么说呢?
用函数来表示:
对于f(n),存在正数n0、c1、c2,使得当 n>=n0 时,始终存在 0 <= c1*g(n) <= f(n) <= c2*g(n),则我们可以用 f(n)=Θ(g(n))表示。
用图来表示:
Θ同时定义了上界和下界,f(n)位于上界和下界之间,且包含等号。
比如说,f(n) = 2n^2+3n+1 = Θ(n^2),此时,g(n)就是用f(n)去掉低阶项和常数项得来的,因为肯定存在某个正数n0、c1、c2,使得 0 <= c1*n^2 <= 2n^2+3n+1 <= c2*n^2,当然,你说g(n)是2*n^2也没问题,所以,g(n)实际上满足这个条件的一组函数。
好了,如果Θ你能理解了,下面四个就好理解了。
O
O定义了算法的上界。
用函数来表示:
对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>=n0 时,始终存在 0 <= f(n) <= c*g(n),则我们可以用 f(n)=O(g(n))表示。
用图来表示:
O只定义上界,只要f(n)不大于c*g(n),就可以说 f(n)=O(g(n))。
比如说,对于插入排序,我们说它的时间复杂度是O(n^2),但是,如果用Θ来表示,则必须分成两条:
- 最坏的情况下,它的时间复杂度为Θ(n^2);
- 最好的情况下,它的时间复杂度为Θ(n)。
这里的n^2只是g(n)这一组函数中最小的上界,当然,g(n)也可以等于n^3。
不过,我们一般说复杂度都是指的最小的上界,比如,这里插入排序的时间复杂度如果说是O(n^3),从理论上来说,也没问题,只是不符合约定罢了。
插入排序最好的情况就是数组本身就是有序的。
o
o定义的也是算法的上界,不过它不包含等于,是一种不精确的上界,或者称作松上界(某些书籍翻译为非紧上界)。
用函数来表示:
对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>n0 时,始终存在 0 <= f(n) < c*g(n),则我们可以用 f(n)=o(g(n))表示。
用图来表示:
o表示仅仅是大O去掉等于的情况,其他行为与大O一模一样。
Ω
Ω定义了算法的下界,与O正好相反。
用函数来表示:
对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>=n0 时,始终存在 0 <= c*g(n) <= f(n),则我们可以用 f(n)=Ω(g(n))表示。
用图来表示:
Ω只定义下界,只要f(n)不小于c*g(n),就可以说 f(n)=Ω(g(n))。
比如,对于插入排序,我们可以说它的时间复杂度为Ω(n),不过,这通常没有什么意义,因为插入排序在最好的情况下很少,基本都是在最坏情况或者平均情况。
ω
ω同样定义的是下界,只不过不包含等于,是一种不精确的下界,或者称作松下界(某些书籍翻译为非紧下界)。
用函数来表示:
对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>n0 时,始终存在 0 <= c*g(n) < f(n),则我们可以用 f(n)=ω(g(n))表示。
用图来表示:
ω表示仅仅是大Ω去掉等于的情况,其他行为与大Ω一模一样。
通俗理解
符号 |
含义 |
通俗理解 |
---|---|---|
Θ |
精确的渐近行为 |
相当于“=” |
O |
上界 |
相当于“<=” |
o |
松上界 |
相当于“<” |
Ω |
下界 |
相当于“>=” |
ω |
松下界 |
相当于“>” |
小结
为了帮助同学们快速查阅英文资料,彤哥特地把这几节涉及到的英语单词汇总了一下:
汉语 |
英文 |
---|---|
复杂度 |
complexity |
时间复杂度 |
time complexity |
空间复杂度 |
space complexity |
渐近分析 |
asymptotic analysis |
最坏情况 |
the worst case |
最好情况 |
the best case |
平均情况 |
the average case |
精确的渐近行为 |
exact asymptotic behavior |
低阶项 |
low order terms |
常数项(前置常数) |
leading constants |
松上界 |
loose upper-bound |
后记
本节,我们分别从读音、数学、通俗理解等三个方面阐述了Θ、O、o、Ω、ω的含义,并在最后给出了这几节涉及到的术语对应的英文,有了这些英文,你也可以快速地查阅这方面的资料。
不过,在我们平时与人交流的过程中,大家还是习惯于使用大O表示法,一来它表示最坏情况,最坏情况通常可以直接代表算法的复杂度,二来它比较好书写。
所以,我们只需要记住大O就可以了,只不过在别人提到Θ、Ω、ω我们知道是什么含义就可以了。
前面几节讲了这么多,其实,还是只涉及了很简单的算法复杂度。
那么,常见的算法复杂度有哪些呢?
下一节,我们接着聊。
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