一天一大 leet(整数拆分)难度:中等-Day20200730

题目:

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例:

1. 示例1

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

2. 示例2

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

说明:

你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58

返回它的最大深度 3 。

抛砖引玉

思路

拆成 n 个数，n 不固定

这种类型的题目：规则确定，起始条件不确定

动态规划
递归

动态规划

枚举 n，dp 记录不同 n 的结果值，dp[n]即查询结果：

确定拆分的整数个数：2<=i<=n
dp[i]为 i 拆分的整数乘积最大值
- 拆分两个以上j,dp[i - j] -> dp[i - j]拆分两个即以上子集
- 拆分两个j，i-j

 /**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function (n) {
  let dp = Array(n + 1).fill(1)
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    let curMax = 0
    for (let j = 1; j < i; j++) {
      curMax = Math.max(curMax, Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
    }
    dp[i] = curMax
  }
  return dp[n]

递归

参数，要拆分的整数
终止条件：遇到已经拆分过的数组

递归的逻辑基本和动态规划一致：

拆分一个数字j出来
属于的i-j可以独立作为一个数字，也可以继续拆分

 /**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function (n) {
  let dp = Array(n + 1).fill(1)
  function dfs(n){
    if (dp[n]) return dp[n];
    let curMax = 0;
    for (let i = 1; i < n; i++) {
      curMax = Math.max(curMax, i * (n - i), i * dfs(n - i));
    }
    return dp[n] = curMax;
  };
  return dp[n]
}

优化的动态规划

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function (n) {
  if (n < 4) return n - 1;
  let dp = Array(n + 1).fill(1)
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = Math.max(Math.max(2 * (i - 2), 2 * dp[i - 2]), Math.max(3 * (i - 3), 3 * dp[i - 3]));
  }
  return dp[n];
}