不求甚解之 Spanning Tree

最近在阅读 USB4 的标准，文档中多次提到 Spanning Tree，于是网上搜了搜，大概有了些概念，写下来促进理解。

Spanning Tree（生成树） 在数学上属于 Graph Theory（图论）的范畴，在应用上属于数据结构和算法。

首先从 Graph（图） 的概念入手，简单来说，

• 一个图包含若干 Vertices（顶点，单数 Vertex） 和若干 Edges（边）。
• 顶点的 Degree（度）是指以该顶点为端点的边的数量。有方向的边叫做 Arc （有向边，弧）。
• 如果一个图是由顶点和有向边组成的，就叫做 Directed Graph（有向图）。

概念有点多，还是回到我们关注的生成树。

一个生成树是一个图的子集，它包含了最少数量的边以连接该图中所有的顶点。

如下图所示。

从上图可以对 Spanning Tree 有一个非常直观和浅显的了解。

不过深入的看，一个图的生成树有一些严谨的性质。

• 一个连通图可以有不止一个生成树；
• 一个图的所有可能的生成树，都有相同数量的边和顶点；
• 生成树不会有任何环（cycle，loop）；
• 在一个生成树中删除一个边，会导致该图不连通；
• 在一个生成树中增加一个边，会创建一个环；
• 生成树有 n-1 条边，n 是顶点数量；

性质也是一大把，看的人头晕.

在我们能够接触到的实际应用中，比较典型的感觉还是在一个 Connected Weighted Graph（连通赋权图）中寻找它的 Minimum Spanning Tree （MST，最小权值生成树）。例如路径规划、人员分派等应用。

构造最小生成树有两种常用算法。

• Kruskal's Algorithm
• Prim's Algorithm

有了上面的基础，在文档中再遇到 Spanning Tree 这个词汇的时候，脑子里大概就会有个基本的生成树的拓扑结构，有助于更好的理解上下文。