一种O(n)的排序——计数排序引发的围观风波

前言

计算机课上，老师给一串数字6 1 6 9 9 1 4 2 1 5 8 8,问道：这一串数字，你们写个程序给我看，要求效率较高。学不出来的别下课了。

顿时场下一片哗然，但有很多小朋友硬着头皮啪啪啪的开始敲了。

老师走到pigpian身边，pigpian很难得皱了皱眉头

很难很难得写下了下面代码：

int a[]= {6,1,6,9,9,1,4,2,1,5,8,8};
for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
{
    for(int j=0;j<i;j++)
    {
        if(a[j]>a[j+1])
        {
            int team=a[j];
            a[j]=a[j+1];
            a[j+1]=team;
        }
    }
}
System.out.println(Arrays.toString(a));

老师："gun吧，都2020年还用O(n2)的算法，快，快回去吃饭吧，快gun吧"。pigpian一脸无奈得走出教室，接着老师问道有没有其他人写出来，慢慢得挪到doudou得旁边。

doudou着急解释道：老师，你看我的O(nlogn)的快排算法：

int a[]= {6,1,6,9,9,1,4,2,1,5,8,8};
Arrays.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));

老师轻蔑的嘲讽道："gun 吧，就知道投机取巧，我看你海！回去吃饭吧" 紧接着老师走到bigmao 的旁边，bigmao 给老师看了他的代码：

private static void quicksort(int [] a,int left,int right)
{
    int low=left;
    int high=right;
    //下面两句的顺序一定不能混，否则会产生数组越界！！！very important！！！
    if(low>high)
        return;
    int k=a[low];//取最左侧的一个作为衡量，最后要求左侧都比它小，右侧都比它大。
    while(low<high)
    {
        while(low<high&&a[high]>=k)
        {
            high--;
        }
        //这样就找到第一个比它小的了
        a[low]=a[high];
        while(low<high&&a[low]<=k)
        {
            low++;
        }
        a[high]=a[low];         
    }
    a[low]=k;
    quicksort(a, left, low-1);
    quicksort(a, low+1, right);     
}

老师脸角泛起微光："不错不错，手写快排还是挺棒的，回去吃饭吧！"。

此时bigsai举起他的小手手："老师快来，我写的这个贼快"。bigsai亮起他的代码：

int a[]= {6,1,6,9,9,1,4,2,1,5,8,8};
int count[]=new int[10];
for(int i=0;i<a.length;i++)
{
    count[a[i]]++;
}
int index=0;
for(int i=0;i<count.length;i++)
{
    while (count[i]-->0) {
        a[index++]=i;
    }
}
System.out.println(Arrays.toString(a));

"不错不错，这个方法效率确实很高，你回去把这种排序的方法和大家分享一下吧！"老师惊艳道！

待bigsai出门后，站在门外的pigpian和doudou拦住问道："sai哥这是啥东东啊"。

"计数排序。流程看图，听我下面慢慢讲："

计数排序介绍

或许上面的代码你看起来还有点懵逼，但是不要紧，我们在这里给你讲明白什么是计数排序。对于计数排序，百度百科是这么说的：

计数排序是一个非基于比较的排序算法，该算法于1954年由 Harold H. Seward 提出。它的优势在于在对一定范围内的整数排序时，它的复杂度为Ο(n+k)（其中k是整数的范围），快于任何比较排序算法。当然这是一种牺牲空间换取时间的做法，而且当O(k)>O(n*log(n))的时候其效率反而不如基于比较的排序（基于比较的排序的时间复杂度在理论上的下限是O(n*log(n)), 如归并排序，堆排序）

对于额外数组该如何理解呢？我们慢慢来，在以前介绍桶排序的时候，我们知道每个桶里面是可以给一个范围的数字放进去。从每个桶的实质来看可以是List集合。

但如果每个桶中只有一种元素，那么这个桶就可以不需要使用集合去储存标记，而是用一个数字即可进行标记认为它出现了多少次。

所以这种每个桶只能放一种元素的，我们不需要每个桶再用List集合去装，而用数组的值储存对应编号出现的词数即可，例如上述的a[1]=2表示其中的1号桶出现两次，而a[3]=0表示元素3没有出现过。

而这样的数值如何计算呢?

很简单，对待排序目标序列遍历一次，每次遍历的值让这个值的编号加上1，说明对应元素词数加一。例如上述第一个1就a[1]++,第二个5就a[5]++……
然后取值时候遍历这个数字，顺序将目标编号的数字取出来即可。(每取一个对应位置数值减1直到为0为止)。例如上述遍历这个数组，就获得1 1 2 4 4 5这个序列。你看看，这个时间复杂度是不是O(n)的？

上面算法设计就很好了嘛？当然不是，如果是1，2 ，3之类数据肯定没啥问题，但是如果1000001，1000002，1000003之类的序列你这么开数组不是太多空间了？并且前面也要遍历很多无用的次数。

所以我们在设计具体算法的时候，先找到最小值min，再找最大值max。然后创建这个区间大小的数组,从min的位置开始计数，这样就可以最大程度的压缩空间，提高空间的使用效率。

代码实现

通过上述分析，计数排序的实现代码为：

import java.util.Arrays;

public class test {
    public static void jishusort(int a[])
    {
        int min=Integer.MAX_VALUE;int max=Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0;i<a.length;i++)//找到max和min
        {
            if(a[i]<min) 
                min=a[i];
            if(a[i]>max)
                max=a[i];
        }
        int count[]=new int[max-min+1];//对元素进行计数
        for(int i=0;i<a.length;i++)
        {
            count[a[i]-min]++;
        }
        //排序取值
        int index=0;
        for(int i=0;i<count.length;i++)
        {
            while (count[i]-->0) {
                a[index++]=i+min;//有min才是真正值
            }
        }

    }
    public static void main(String[] args) {
        int a[]= {6,1,6,9,9,1,4,2,1,5,8,8};
        jishusort(a);
        System.out.println(Arrays.toString(a));

    }

}

打印结果为：

[1, 1, 1, 2, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9]

结语

通过上面我想计数排序你已经搞得很清楚了，计数排序的时间复杂度为O(n+k)其中k为正数范围;线性时间大部分都比其他排序快一点，但是也不一定，例如你遇到1 2 4 2 100001这样一个序列，其中k的范围为10000，虽然他是O(n+k)=O(k)k远大于n情况，但是此时O(k)>O(nlogn)因为n太小，而K太大，需要遍历的词数太多了。

所以即使计数排序它是线性但是并非所有情况都是最好的方法，并且也占用了太多内存。当数据范围波动不是很大，数据相对比较集中，这时候用计数排序肯定是最好的啦，这点和桶排序的要求很像哦，没错，它其实就是一种特殊的桶排序，他的桶大小为1，用数值计数词数而以，其他都是一样的操作。

此时bigsai沾沾自喜终于讲完了,在旁边的pigpian和doudou直呼：讲的真的太好了，我不光要把它收藏下来，我还要给你点赞！