Sequential Nim(CodeForces - 1382B)【博弈】

B - Sequential Nim (CodeForces - 1382B)

题目链接

算法

博弈

时间复杂度O(N)

1.这道题乍一看以为用Nim博弈直接套用就可以了，结果通过题意发现并不是。题目中要求取石子时只能从下标最小的那一堆开始取，也就是说一堆一堆的取，不能跳着取。

2.分析完题意，我们知道最后取完最后一堆的人必胜。那么怎么分析谁最后会赢呢？

如果只有一堆的话，很容易得出第一个人获胜。关键在于如何分析多堆的情况。

为了方便，我们将每一堆中首先取的人称为先手，然后取的人是后手，下面我们来进行分类讨论：

如果某一堆只有1个石子，那么先手只能取这一个石子。如果还有剩余的石堆，那么此先手在下一堆中将成为后手(因为两个人是轮流取的)；如果没有剩余的石堆，那么此先手获胜。
如果某一堆中有若干个石子(超过1个)，为了最优，先手有两种取法，要么全取完，要么取走大部分，只剩余一个。前者会使得先手在下一堆中充当后手，后者会使先手在下一堆中充当先手。当然如果没有下一堆了，取完即可，这时先手赢。否则还要继续判断。

分类讨论后发现，一共就上面两大类情况。那么该怎么做呢？这里是题目的一个难点。

对于先手，当该石堆中石子个数超过1并且还有其他的石堆时，他可以根据实际情况选择在下一堆中成为先手还是后手。但是当石堆中石子个数为1时他别无选择，只能是在下一堆中成为后手。所以说石子个数为1的石堆为转折点。

既然当某石堆石子个数大于1时先手可以任意选择在下一堆中他的身份，所以如果还有其他石堆，那么该先手必胜。(因为他掌握着主动权，所以他完全可以根据剩余的石堆数来选择接下来的身份，至于怎么选我们不用考虑)

当石子个数等于1时，先手变成后手，后手变成先手。

3.总结一下，我们只需从头判断每一堆的石子的个数，若个数为1，则继续循环，直到循环完。如果循环完了，说明都为1，这时只需判断石堆个数即可；若出现个数不为1的，则先手必胜，跳出循环即可。

C++代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int t, n;
int a[N];
int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            cin >> a[i];
        int first = 1, second = 0;
        bool flag = false;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            if(a[i] == 1)
            {
                if(first)
                {
                    first = 0;
                    second = 1;
                }
                else
                {
                    first = 1;
                    second = 0;
                }
            }
            else
            {
                if(first)
                    puts("First");
                else
                    puts("Second");
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if(!flag)
        {
            if(n % 2 == 1) puts("First");
            else puts("Second");
        }

    }
}

思路来源（注意这里“先手”的定义与思路来源连接里的“先手"定义不同）