动态规划算法
时间:2022-07-23
本文章向大家介绍动态规划算法,主要内容包括其使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。
首先,动态规划问题的一般形式就是求最值。动态规划其实是运筹学的一种最优化方法,只不过在计算机问题上应用比较多,比如说让你求最长递增子序列呀,最小编辑距离呀等等。
既然是要求最值,核心问题是什么呢?求解动态规划的核心问题是穷举。因为要求最值,肯定要把所有可行的答案穷举出来,然后在其中找最值呗。
动态规划这么简单,就是穷举就完事了?我看到的动态规划问题都很难啊!
首先,动态规划的穷举有点特别,因为这类问题存在「重叠子问题」,如果暴力穷举的话效率会极其低下,所以需要「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程,避免不必要的计算。
而且,动态规划问题一定会具备「最优子结构」,才能通过子问题的最值得到原问题的最值。
另外,虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值,但是问题可以千变万化,穷举所有可行解其实并不是一件容易的事,只有列出**正确的「状态转移方程」**才能正确地穷举。
以上提到的重叠子问题、最优子结构、状态转移方程就是动态规划三要素。具体什么意思等会会举例详解,但是在实际的算法问题中,写出状态转移方程是最困难的,这也就是为什么很多朋友觉得动态规划问题困难的原因,我来提供我研究出来的一个思维框架,辅助你思考状态转移方程:
明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义。
# 一、斐波那契数列
package com.zhanbo.dynamicplanning;
/**
* @author ZhanBo
* @date 2020/8/9
*/
public class Fibonacci {
int fib(int N) {
int [] dp = new int[N+1];
// base case
dp[1] = dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
/**
* 压缩dp数组,因为dp的状态只与前两个状态有关。
* @param n
* @return
*/
int fib2(int n) {
if (n == 2 || n == 1) {
return 1;
}
int prev = 1, curr = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = prev + curr;
prev = curr;
curr = sum;
}
return curr;
}
}
# 二、凑零钱问题
先看下题目:给你 k
种面值的硬币,面值分别为 c1, c2 ... ck
,每种硬币的数量无限,再给一个总金额 amount
,问你最少需要几枚硬币凑出这个金额,如果不可能凑出,算法返回 -1 。算法的函数签名如下
package com.zhanbo.dynamicplanning;
import java.util.Arrays;
/**
* @author ZhanBo
* @date 2020/8/9
*/
public class CollectChange {
static int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 数组大小为 amount + 1,初始值也为 amount + 1
int[] dp = new int[amount+1];
Arrays.fill(dp,amount+1);
// base case
dp[0] = 0;
// 外层 for 循环在遍历所有状态的所有取值
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
// 内层 for 循环在求所有选择的最小值
for (int coin : coins) {
// 子问题无解,跳过
if (i - coin < 0) {
continue;
}
dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
}
}
return (dp[amount] == amount + 1) ? -1 : dp[amount];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(coinChange(new int[]{3, 100, 10}, 11));
}
}
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