动画：什么是基数排序？

基数排序

与基于比较的排序算法（归并排序、堆排序、快速排序、冒泡排序、插入排序等等）相比，基于比较的排序算法的时间复杂度最好也就是

，而且不能比

更小了。

计数排序（Counting Sort）的时间复杂度为

量级，更准确的说，计数排序的时间复杂度为

，其中

表示待排序元素的取值范围（最大与最小元素之差加 1 ）。

那么问题来了，当这个元素的的范围在 1 到

怎么办呢？

此时就不能用计数排序了奥，因为这种情况下，计数排序的时间复杂度达到了

量级。

比如对数组 [170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66] 这个而言，数组总共包含 8 个元素，而数组中的最大值和最小值之差为 802 - 2 = 800 ，这种情况下，计数排序就 ”失灵了“ 。

那么有没有那种排序算法可以在线性时间对这个数组进行排序呢？

答案就是今天要讲的 基数排序（Radix Sorting） 。基数排序的总体思想就是从待排序数组当中，元素的最低有效位到最高有效位 逐位 进行比较排序；此外，基数排序使用计数排序作为一个排序的子过程。

下面我们就以数组 [170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66] ，快乐学习基数排序！

数组当中的最大值 802 为三位数，所以我们在不足三位的数字前面补 0 ，即[170, 045, 075, 090, 802, 024, 002, 066]方便后续说明基数排序。

第一步：按数组当中元素的最低有效位，个位 [170 ,045 ,075 , 090 ,802 , 024 , 002 , 066 ]，进行计数排序：

第二步：按数组当中元素的次最低有效位，十位数 [170, 090, 802, 002, 024, 045, 075, 066] ，进行计数排序：

第三步：按数组当中元素的最高有效位，百位 [802, 002, 024, 045, 066, 170, 075, 090] ，进行计数排序：

这样我们就完成了基数排序，得到了一个有序数组 [2, 24, 45, 66, 75, 90, 170, 802] .

高清视频动画

实现代码

import java.io.*; 
import java.util.*; 
  
class Radix { 
  
    // 获取数组中的最大值 
    static int getMax(int arr[], int n) 
    { 
        int max = arr[0]; 
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            if (arr[i] > mx) 
                max = arr[i]; 
        return max; 
    } 
  
    // 计数排序
    static void countSort(int arr[], int n, int exp) 
    { 
        int output[] = new int[n]; //输出数组 
        int i; 
        int count[] = new int[10]; 
        Arrays.fill(count,0); 
  
        // 统计数组中元素第 exp 位的数目
        for (i = 0; i < n; i++){
            count[(arr[i]/exp)%10]++; 
        }
  
        // 对 count[] 数组进行转
        for (i = 1; i < 10; i++){
            count[i] += count[i - 1]; 
        }
  
        // 进行计数排序 
        for (i = n - 1; i >= 0; i--) 
        { 
            output[count[ (arr[i]/exp)%10 ] - 1] = arr[i]; 
            count[ (arr[i]/exp)%10 ]--; 
        } 
  
        // 输出到数组arr[]中
        for (i = 0; i < n; i++){ 
            arr[i] = output[i]; 
        }
    } 
  
    // 基数排序
    static void radixsort(int arr[], int n) 
    { 
        // Find the maximum number to know number of digits 
        int m = getMax(arr, n); 
  
        // 对数组当中的数字按照每一个有效位进行一趟计数排序。 
        for (int exp = 1; m/exp > 0; exp *= 10){
            countSort(arr, n, exp);         
        } 
    } 
  
    // 进行输出
    static void print(int arr[], int n) 
    { 
        for (int i=0; i<n; i++) 
            System.out.print(arr[i]+" "); 
    } 
  
  
    /*Driver function to check for above function*/
    public static void main (String[] args) 
    { 
        int arr[] = {170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66}; 
        int n = arr.length; 
        radixsort(arr, n); 
        print(arr, n); 
    } 
} 

实现当中有一个细节需要解释一下，那就是如何从最低位到最高位取每一个数字的该位的值。答案很简单了，就是除 10 取余。

比如 802 ，要取最低位，802 % 10 = 2 ，就取到了个位；紧接着除 10 取商数 802 / 10 = 80 ，然后对商数 80 进行除 10 取余数，就可以得到十位了，80 % 10 = 0 ；最后再对 80 除 10 取商数 80 / 10 = 8 ， 然后对商数 8 进行除 10 取余数，8 % 10 = 8 就可以得到百位数。

代码中的 (arr[i] / exp) % 10 就可以轻松理解啦， exp 就相当于控制位数，而取余操作就相当于取出第 exp 位的值。

当然彻底搞懂基数排序，前提是你要清楚计数排序（Counting Sort），又到打广告的时间了，推荐看一下 漫画：什么是计数排序？。

复杂度分析

时间复杂度

设

表示输入的数组当中最大值的位数（比如 802，3位，

），那么基数排序的时间复杂度就是

，其中

表示数组的长度，而

则是表示一个数的基础，对十进制而言，

；

设

是一个计算机可表示的最大整数，那么

；

则基数排序整个时间复杂度为

。

对于一个较大的数

，计数排序的这个时间复杂度似乎比基于比较的排序算法都慢，但是事实未必，接着看。

假设

取一个最大整数，其中

是一个常量；

那么基数排序的时间复杂度就为

，其中

和

都是常数，我们可以忽略不计，那么基数排序的时间复杂度就变成了

，但是这依旧不比基于排序算法的最好时间复杂度

好呀？

可是当我们将这个

取足够大呢？

取多少的时候基数排序的时间复杂度才能变成线性呢？

当

的时候，

，基数排序的时间复杂度就变成了

，线性时间复杂度。

也就说，当数字用

进制表示的时候，我们就可以对 1 到

范围之内的数组进行线性排序。

对于元素的跨度（范围）比较大的数组而言，基数排序的运行时间可能比快速排序要好。但是对于基数排序而言，其渐近时间复杂度中隐含了更高的常量因子，并非完全的线性；而快速排序更有效地利用硬件缓存，提高其效率。此外，基数排序使用计数排序作为子过程，计数排序占用额外的空间来对数组进行排序。

但是基数排序解决我们最开始所提出的问题，当数据范围在 1 到

时，计数排序的复杂度将变为

量级，而基数排序依旧可以在线性时间进行排序！

空间复杂度

计数排序使用了额外的空间进行排序，空间复杂度为

。

---