曾经绊倒我的 “超级丑数”
既然来了,何不认真读完此文呢?每天多花20分钟,做一些别人不愿做的事,坚持下去,会有一个结果的。废话少说,通过此文,你将会学到如下知识:
- 学会列表和排序很难求解的场景
- 学会使用堆的场景
- 学会一个使用堆的案例
- 进一步提高对内置模块heapq的使用能力
1 超级抽数
题目来自 https://leetcode-cn.com/problems/super-ugly-number/,阿里面试曾考过此题,大家务必重视此题。
首先要理解题目,我做此题时,读题好几遍,才完全明白超级丑数的定义。
给定一个质数列表primes
,如果一个数的所有质数构成的列表是primes
的子集,则此数为超级丑数。
因此,超级抽数依赖于给定的primes,要求求出第n个丑数。
示例
输入: n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出: 32
解释: 给定长度为 4 的质数列表 primes = [2,7,13,19],前 12 个超级丑数序列为:[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。
列表和排序很难求解
先从暴力枚举开始分析,假定primes等于[2,5,13],依次列举出所有可能的丑数:1, 2, 4, 8, 16, 32, …. 糟糕!因为仅仅使用一个素数2,就能列举出很多。幸好此题限定一个丑数的上限,在32位有符整数范围内(最大值为:),即便如此,穷举的情况依然非常复杂,更别提求解第n个丑数了!
的确,此题不太容易确定所有的丑数序列,完整的序列无法确定,排序也就无从谈起。因此,通过从小到大排序后找出第n
个丑数的方法就不可行。
经验:对于无法提前预知整个列表,或者构建出整个序列耗费时间较长,或占用内存过大时,求第n个丑数,往往不太适合使用列表!
使用堆的场景
考虑使用堆,对应Python中heapq
模块,它专治以上三种情况发生时,求解第n个丑数。
这道题使用heapq的求解思路如下:
- step1 构建heapq,装入第一个元素,即素数1;
- step2 移出heapq的根元素ugly,遍历primes拿出prime,同时与prime的元素相乘,得到一个新的丑数,并装入到heapq中。备注:Python中heapq是一个小根堆,也叫做优先级队列,在装入heapq中时,对象内部总会维护一个小根堆,所以每次pop时,都是当前heapq的最小值。
- step3 利用上述特性,当移出n个元素时,实际上相当于从已排序好的列表中找到其第n个小的元素,这不就是丑数列表排序好后,第n个丑数吗!正是想要的结果第n个丑数。
需要注意,丑数装入heapq时,不能出现重复。解决起来也很方便,使用集合set防止重复添加。
代码
将上述思路兑现为代码:
class Solution(object):
def nthSuperUglyNumber(self, n, primes):
"""
:type n: int
:type primes: List[int]
:rtype: int
"""
nums, i, s = [], 0, set()
heapify(nums)
heappush(nums, 1) # step1
ugly = 0
for _ in range(n): # step2
ugly = heappop(nums)
for prime in primes:
uglyCombine = ugly * prime
if uglyCombine not in s: # step3
s.add(uglyCombine)
heappush(nums, uglyCombine)
return ugly
时间复杂度等于 O(knlogn),k为primes长度,n为第几个丑数; 空间复杂度为O(n).
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