第一章市场

Q1：假设需求曲线为

D(p)=100-2p

。如果有 60 个公寓，市场将如何定价？如果有 40 个公寓，市场将如何定价？画出需求和供给曲线。

clear
set obs 100

gen q = _n
gen d_p = (100 - q)/2

line d_p q, scheme(plotplain) ytitle(P) xtitle(Q)  ///
            xline(40) xline(60) ///
            yline(20,lp(dash)) yline(30,lp(dash)) ///
			text(45 25  "{it:D(P) = 100 - 2*P}") ///
			text(10 48 "{it:S1 = 40}")  ///
			text(10 68 "{it:S2 = 60}")
graph export "$image/1.png", replace

第二章预算约束

Q1：消费者的初始预算线为

p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m

。现在商品 1 的价格变为原来的 2 倍，商品 2 的价格变为原来的 8 倍，收入变为原来的 4 倍。写出新预算的表达式，其中价格和收入要分别以原来的价格和收入表示。

2p_{1}x_{1}+8p_{2}x_{2}=4m

Q2：如果商品 2 的价格上升，但商品 1 的价格和收入保持不变，那么预算线如何变动？

设初始预算线方程为

p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m

，它的斜率为

-p_{1}/p_{2}

，横截距为

m/p_{1}

，纵截距为

m/p_{2}

。当

p_{2}

上升而

p_{1}

和

不变时，斜率绝对值变小，横截距不变，总截距变小。因此预算线绕着横截距点

(m/p_{1},0)

向内转动（变得更平坦）。如下图所示：

/*
s.t.
m =3000
p1 = 10; p2 = 300; p3 = p2*2

p1x1 + p2x2 = m -> x2 = (m - p1x1) / p2
*/

clear
set obs 100

scalar m = 3000
scalar p1 = 30
scalar p2 = 100
scalar p3 = 2*p2

gen x1 = _n
gen x2 = (m-p1*x1)/p2
gen x3 = (m-p1*x1)/p3

tw (line x2 x1) (line x3 x1), scheme(plotplain)
graph export "$image/2.png", replace

第三章偏好

Q1：某大学橄榄球教练说，任意给定两个前锋比如 A 和 B ，他永远偏好身材更高大和速度更快的那个。他的这种偏好关系是传递的吗？是完备的吗？

完备性是指任何两个消费束都是可比较的，即假定有任意消费束 Y 和 X，若有

(x_1, x_2) geq (y_1, y_2)

，或者

(y_1, y_2) geq (x_1, x_2)

，或者两种情况都有，在最后这种情况下，消费者对两个消费束无差异。传递性是指假如消费者认为 X 至少和 Y 一样好，Y 至少和 Z 一样好，那么就可以认为 X 至少和 Y 一样好。

回到上例，结论为不满足完备性，但满足传递性。理由如下：

非完备。可以通过反证法证明：令下标 1 和 2 分别表示身材和速度，假设是完备的，则有

A_{1} geq B_{1}

并且

A_{2} geq B_{2}

（或者

B_{1} geq A_{1}

并且

B_{2} geq A_{2}

）。但是当

A_{1} > B_{1}

但

A_{2} > B_{2}

，即 A 身材更高但速度更慢，而 B 的身材更矮但速度更快，这种情形下选择谁？

是传递的。假设有

A_{1} geq B_{1}

并且

A_{2} geq B_{2}

，若

B_{1} geq C_{1}

并且

B_{2} geq C_{2}

，则必然有

A_{1} geq C_{1}

并且

A_{2} geq C_{2}

。

Q2：面值 1 元的钞票与面值 5 元的钞票，计算它们之间的边际替代率。

边际替代率（marginal rate of substitution, MRS）为无差异曲线的斜率，

MRS_{12} = Delta x_1 / Delta x_2

，即消费者愿意用商品 2 去替代商品 1 的比率。

因此，本题的

MRS_{12} = Delta x_1 / Delta x_2 = 1 / -5 = - 1/5

，即减少 5 张 1 元的钞票，要增加 1 张 5 元的钞票才能使消费者还在原来的无差异曲线上。

第四章效用

Q1：计算柯布-道格拉斯偏好（Cobb-Douglas Preferences）的边际替代率。

柯布-道格拉斯偏好的形式为：

u(x_1,x_2) = x_{1}^{c}x_{2}^{d}

其中，

和

都是表示消费者偏好的正数。

若选择上述指数形式，则有：

MRS = - frac{delta_u(x_1,x_2)/delta x_1}{delta_u(x_1,x_2)/delta x_2} = frac{cx_{1}^{c-1}x_{2}^{d}}{dx_{1}^{c}x_{2}^{d-1}}=- frac{cx_2}{dx_1}

若将柯布-道格拉斯偏好转换为对数形式，则有：

u(x_1,x_2) = cln x_{1} + d ln x_2

求得边际替代率为：

MRS = - frac{delta_u(x_1,x_2)/delta x_1}{delta_u(x_1,x_2)/delta x_2} = frac{c/x_1}{d/x_2}=-frac{cx_2}{dx_1}

Q2：效用函数

u(x_1,x_2)=x_1+sqrt{x_2}

表示什么类型的偏好？效用函数

v(x_1,x_2)=x_{1}^2+2x_1sqrt{x_2}+x_2

是的单调变换吗？

u(x_1,x_2)=x_1+sqrt{x_2}

表示拟线性偏好。因为

x_1 geq 0, x_2 geq 0

（消费数量不能为负），所以

u(x_1,x_2)=x_1+sqrt{x_2} geq 0

，对效用函数

u(x_1,x_2)

做单调变换

f(u)=u^2

可得

f(u) = x_{1}^2+2x_1sqrt{x_2}+x_2

，而这正是效用函数

v(x_1,x_2)

，因此

v(x_1,x_2)

是

u(x_1,x_2)

的单调变换。

Notes | 微观经济学课堂笔记（一）

第一章 市场

第二章 预算约束

第三章 偏好

第四章 效用

第一章市场

第二章预算约束

第三章偏好

第四章效用