《剑指offer》第25天：最简单的动态规划

01、动态规划概念讲解

关于动态规划的资料很多，官方的定义是指把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。概念中的各阶段之间的关系，其实指的就是状态转移方程。很多人觉得DP难（下文统称动态规划为DP），根本原因是因为DP跟一些固定形式的算法不同（比如DFS、二分法、KMP），它没有实际的步骤规定第一步、第二步来做什么，所以准确来说，DP其实是一种解决问题的思想。

这种思想的本质是：一个规模比较大的问题（可以用两三个参数表示的问题），可以通过若干规模较小的问题的结果来得到的（通常会寻求到一些特殊的计算逻辑，如求最值等），如下图所示，一个大规模的问题由若干个子问题组成。

那么我们应该如何通过子问题去得到大规模问题呢？这就用到了状态转移方程（上面有介绍状态转移方程哦，不懂的请往上翻哦），我们一般看到的状态转移方程，基本都是这样：

opt ：指代特殊的计算逻辑，通常为 max or min。

i,j,k 都是在定义DP方程中用到的参数。

dp[i] = opt(dp[i-1])+1

dp[i][j] = w(i,j,k) + opt(dp[i-1][k])

dp[i][j] = opt(dp[i-1][j] + xi, dp[i][j-1] + yj, ...)

每一个状态转移方程，多少都有一些细微的差别。这个其实很容易理解，世间的关系多了去了，不可能抽象出完全可以套用的公式。所以我个人其实不建议去死记硬背各种类型的状态转移方程。但是DP的题型真的就完全无法掌握，无法归类进行分析吗？我认为不是的。在本系列中，我将由简入深为大家讲解动态规划这个主题。

02、题目分析

我们先看一道最简单的DP题目，熟悉DP的概念：

示例 1：

输入：2   输出：2  解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入：3   输出：3  解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

03 、图解分析

通过分析我们可以明确，该题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建。满足“将大问题分解为若干个规模较小的问题”的条件。所我们令 dp[n] 表示能到达第 n 阶的方法总数，可以得到如下状态转移方程：

dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]

• 上 1 阶台阶：有1种方式。
• 上 2 阶台阶：有1+1和2两种方式。
• 上 3 阶台阶：到达第3阶的方法总数就是到第1阶和第2阶的方法数之和。
• 上 n 阶台阶，到达第n阶的方法总数就是到第 (n-1) 阶和第 (n-2) 阶的方法数之和。

04、代码示例

根据以上分析，可以得到代码，go语言：

func climbStairs(n int) int {
 if n == 1 {
  return 1
 }
 dp := make([]int, n+1)
 dp[1] = 1
 dp[2] = 2
 for i := 3; i <= n; i++ {
  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
 }
 return dp[n]
}

java：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++ ) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];       
    }
}