经典控制理论
相关词汇
工程数学基础 1. 特征值,特征向量,过渡矩阵rightarrow矩阵对角化 2. 线性化 Linearization 3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system） 4. 欧拉公式Euler's Formula 5. 复数Complex Number 6. 阈值选取
Advanced控制理论稳定性两种类型判别方法 3. 不稳定相图分析-phase-portrait 齐次状态方程解dot x = A x 非齐次状态方程dot x = A x + B u 线性系统可控性与可观测性引理状态反馈与状态观测器状态观测器
Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现
- 非线性控制理论
  - ARC

经典控制理论

动态系统建模

通过配置系统输入u(t)，使u(s)G(s)的极点使系统满足一定特性

一阶系统特性

(G(s) = frac{a}{s+a}) (frac{1}{a})是时间常数(tau)，对应上升为0.63 (4tau)对应阶跃响应0.98

二阶系统特性

(mddot x+Bdot x+kx=F) (ddot x+2omega_nxi dot x+omega_n^2x=frac{F}{m})

阻尼比固有频率:(omega_nsqrt{1-xi^2})

单位化：(u(t)=frac{F}{omega_n^2}) (H(s) = frac{omega_n^2}{s^2+2xiomega_ns+omega_n^2})

零极点图：极点全部在左，系统稳定虚轴长度代表振荡周期 实轴长度代表衰减速度 (cos theta)代表阻尼比

SISO system稳定性判据

特征多项式系数判断传递函数稳定性

Hurwitz霍尔维兹判据：构建霍尔维兹行列式，全部为正

(D1 = a_1)

(D2 = begin{pmatrix} a_1&a_3\ a_0&a_2 end{pmatrix})

(D3 = begin{pmatrix} a_{1}& a_{3}& a_{5}\ a_{0}& a_{2}& a_{4}\ 0& a_{1}& a_{3} end{pmatrix})

Lienard-Chipard林纳德-齐帕特判据：系数都大于零，奇数或偶数阶次行列式
Routh劳斯判据：求(e_{ss})时顺序，1判断稳定性、2求E(s)，3应用终值定理(e_{ss} = lim limits_{srightarrow0}sE(s))
频率稳定判据： H. Nyquist奈奎斯特判据，开环频率特性，判断闭环稳定性 (F(s) = 1 +G(s)H(s))的p，极点，是开环传函极点 z零点，闭环传递函数的极点封闭曲线内(R=P-Z)

频率特性

只适用于线性定常模型，否则不能拉式变换
稳定条件下使用
bode图单位用dB：20log(Mo/Mi)，表征了能量

幅值相应:magnitude response (frac{M_o}{M_i} = left | G(jomega)right |)
幅角响应:Phase response (phi_o-phi_i = angle G(jomega))
带阻尼比的共振频率: (omega = omega_n sqrt{1-2zeta^2}\) 此时的极值：(frac{1}{2zetasqrt{1-zeta^2}})
幅值裕度h：相位为-π时，幅值距0dB的差值相位裕度(gamma):幅值为1（0dB）时，相位距-π的差根据幅相图，(0,0)出发为开环，(-1,0)出发为闭环
不同频段信息

低频段(G(jomega))反映了系统的稳态精度 0dB/sec->稳态精度
中频段：穿越0dB(omega_c) 反映了系统的平稳性和快速性 -20dB/sec开环积分，闭环一阶，快速性 -40dB/sec开环双积分，闭环二阶，零阻尼，频率段不宜过宽，穿越频率取-20斜率
高频段反映了系统对高频干扰抑制能力

系统矫正

串联矫正

超前矫正 (G_c(s)=frac{1+aTs}{1+Ts},a>1)
滞后矫正 (G_c(s)=frac{1+bTs}{1+Ts},b<1)
滞后超前矫正两个合起来
PID矫正器
复合矫正前置矫正：指令->Gc(s)->误差，一般补偿分母s，开环前向增益1 干扰前置补偿：干扰测量->Gc(s)->误差，误差->干扰端传函(Gs^{-1})

根轨迹

（开环->闭环稳定性）:分析G(s)的N、P，看闭环系统稳定性开环传递函数中开环增益K从0-无穷时，闭环特征根的移动轨迹单位负反馈闭环传递函数 (phi(s) = frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}) G(s)是一个

非线性系统

叠加原理不适用常规分类：死区饱和间隙-滞环

系统收敛：消耗系统能量系统发散：从外界获取能量

工程数学基础

1. 特征值,特征向量,过渡矩阵(rightarrow)矩阵对角化

特征值(lambda)有(lambda v=Av) ( | lambda I-A | = 0) 特征值解法：将(lambda)代回(( lambda I - A)* v = 0) (lambda_1 、lambda_2)对应特征向量(v_1 、v_2) 过渡矩阵：特征向量组成的矩阵 (P = begin {pmatrix} v_1&v_2 end {pmatrix}) (AP=A[v_1 v_2] = [Av_1 Av_2]=[lambda_1v_1 lambda_2 v_2]= begin{bmatrix} lambda_1v_{11} & lambda_2v_{21}\ lambda_1v_{12} & lambda_2v_{22} end{bmatrix} =PLambda ) 所以有，单位向量矩阵P将A特征值对角化矩阵 (P^-1AP = Lambda)

2. 线性化 Linearization

非线性：(1/x,sqrt{x},x^n等)

用泰勒级数展开在平衡点(Fixed point)(x_0)附近线性化

令导数项为0，求得平衡点x的值(x=x_0)
把(x_sigma = x_0 + x_d)代入(f(x_sigma)=f(x_0)+f'(x_0)(x_sigma-x_0))
把(x = x_sigma)代入微分方程将(sigma)的x用x_0和x_d替换，然后得到了关于x_d的线性化微分方程 (dot x = A x + b u)求A的雅可比矩阵行是函数，列为对变量的偏导；求平衡点，代入偏导雅可比矩阵；展开得到线性化后的微分方程

3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system）

卷积：(x(t) = f(t)*h(t)=int_0^t f(tau)h(t-tau)dtau) (f(t))=输入 (h(t))=单位冲激响应 (L_{卷积})=L乘积

4. 欧拉公式Euler's Formula

(e^{itheta}=cos(theta)+isin(theta))

5. 复数Complex Number

(sin(x) = Crightarrow x = pi/2+2kpi + ln(Cpmsqrt{C^2-1})i) (Z = a + b i ) (Re(Z) =a ) (Im(Z)=b ) (left | Z right | = sqrt{a^2+b^2}) (Z = left | Z right | cdot (costheta+isintheta)= left | Z right | cdot e^{itheta}) (Z_1 cdot Z_2 = left | Z_1 right | left | Z_2 right | e^{theta_1+theta_2}) (Z+bar Z = 2a) (Z- bar Z = 2bi)

6. 阈值选取

Normal Distribution正态分布、高斯分布 (X = (mu,sigma^2)) 漏检False Dismissal 误警False Alarm

Advanced控制理论

状态空间：State-Space，包含输入、输出、状态，写成一阶微分方程的形式 (dot x = A x + B u) (y = Cx+Du)

稳定性

两种类型

Lyapunov稳定性：有界 (forall t_0, forall epsilon >0, exists delta (t_0, epsilon):left | x(t_0)right |<delta(t_0,epsilon)Rightarrow forall t geqslant t_0, left | x(t) right | < epsilon)

(a , of, lambda_i leqslant 0)实部判断方法：

渐进稳定性： (exists delta(t_0)>0: left |x(t_0)right |<delta(t_0) Rightarrow lim limits_{t rightarrow infty } left | x(t)right | = 0 ) (a , of, lambda_i < 0)实部

判别方法

直接方法：解微分方程(Direct method) 求解λ的值，判断正负
第二方法：(2nd method) ((i)V(0) = 0) ((ii) V(x) geqslant 0 , in, D-{0}) PSD:postive semi definit ((iii)dot V(x) leqslant 0 , in, D-{0})NSD:negative semi definit (Rightarrow x = 0)

3. 不稳定

存在至少一个特征值实部大于零

相图分析-phase-portrait

plot(x,(dot x))，通过x初值，分析点在轨迹上的移动，判断稳不稳定 matlab绘制实例

% 画解微分方程组的相图
clear;cla;clc;
[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5));
streamslice(x,y,0 * x + 2 * y,-3 * x + 0 * y );
xlabel('x');ylabel('y');

特征值和相图的关系

齐次状态方程解(dot x = A x)

(dot x = a xrightarrow x(t) = e^{at}x(0)) 同理，多元线性方程 (dot x = a xrightarrow x(t) = e^{At}x(0)) 其中，状态转移矩阵(Phi(t))解法

数值法： (Phi(t) = e^{At}=I+At+frac{1}{2!}A^2t^2+...+frac{1}{k!}A^kt^k)
解析法： (Phi(t) = L^{-1}[sI-A]^{-1})

性质： (Phi(0) = I) (x(t) = Phi(t-t_0)x(t_0)) (Phi ^{-1}(t) = Phi(-t))

非齐次状态方程(dot x = A x + B u)

(x(t) = Phi (t)x(0)+ int_0^tPhi(t-tau)Bu(tau)dtau) 初始状态x(0)响应+输入项u(t)响应

线性系统可控性与可观测性

可控性：(forall x(0),x(t_f), exists t_f < +infty , u[0,t_f], st. x(0)rightarrow x(t_f)) 充要条件：

(S = [b, Ab, A^2..., A^{n-1}b]) 理论可行，但是实际物理不一定以离散系统为例证明： (x_ 0 = 0\ x_1 = Ax_0 + Bu_0 = Bu_0\ x_2 = Ax_1 + Bu_1 = ABu_0 + B u_1\ x_3 = Ax_2 + Bu_2 = A^2Bu_0 + AB u_1 + B u_2\ ) Matlab 求解，Co矩阵 "ctrb(A,B)"
(rank[S] = n, det , S neq 0)

可观性：(forall t in [t_0,t_f],已知y(t),u(t),可求x(t_0)) (rank begin{bmatrix} C\ CA\ CA^2\ ...\ CA^{n-1} end{bmatrix} =n )

引理

(f(lambda) = sum_{i=0}^{n}a_ilambda ^i) (f(A) = 0 rightarrow A^n = sum_{i=0}^{n-1}a_iA^i)

求解(left | lambda I - Aright |)的特征多项式将(lambda = A )代入，得到递推公式，解算(A^n)

状态反馈与状态观测器

取(u=v-kx)，其中，v为参考输入，系统闭环矩阵由A变为A-Bk

不改变可控性，有可能改变可观性
闭环特征值

状态观测器

Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现

状态转移矩阵：这里要改一下，改成估计量 (x_t^- = F_t x_{t-1} + B_t u_t)

状态转移矩阵:(P_t^-=FP_{t-1}F^T+Q)

协方差矩阵: ( begin{bmatrix} sigma_{11}&sigma_{12}\ sigma_{12}&sigma_{22}\ end{bmatrix} )

卡尔曼方程≠状态观测器

以小车为例，讲卡尔曼滤波最优状态估计

在上图中，P是观测值(hat x)的方差 R是观测器中，来自预估值的比例

概率函数相乘，多传感器信息融合

非线性控制理论

ARC

Barbalat’s 引理 lemma

(Vgeq0)
(dot{V} leq -g(t)), where (g(t)geq 0)
(dot{g}(t)in L_{infty}), if(dot{g}(t)) is bounded the g(t) is uniformly continous. Then, (lim_{t->infty} g(t)=0) Consquently, (lim_{t->infty} e = 0 (kneq0))

自动控制理论笔记