【奇技淫巧】-- 走地图的不同路径

题目：不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

思路

这题其实就是爬楼梯问题的二维抽象罢了，很简单。又一次证明递归会超时。

把图画出来会发现就是个杨辉三角，问题就在于：你是要开数组，还是不开数组？要是开数组，开多大？

解法1：二维数组

用杨辉三角的办法，开一个二维数组，把每个空都填上。

代码1：

int uniquePaths(int m, int n) {
        // DP with 2 dimensions array
        int a[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            a[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1];
            }
        }
        return a[m-1][n-1];
    }

解法2：一维数组（M+N）

把地图想象成一个正方形的地图，如果我们需要求坐标（m,n）处的值，其实前面那些只是铺垫，并没有留下的必要。比方说我们现在要（4,5）的值，那么我们最终只需要从反斜线（0,8）->（8,0）这条线上找到（4,5），所以我们以斜线的方式前进，每次刷新的时候，就当数组的原住民不存在了，它们只需要提供一个数值。

语言是无力的，看代码

代码2：

int uniquePaths(int m, int n) {
    int k = m + n - 1;
    vector<int> a(k, 0);
    if (k == 1)
        return 1;

    a[0] = 1;
    a[1] = 1;

    int count = 2;
    while (k > 2) {
        for (int i =count-1; i >0; i--) {
            a[i] = a[i] + a[i - 1];
            a[count] = 1;
        }
        count++;
        k--;
    }
    
    return a[n-1];
}

解法3：一维数组（M+N）/2

很快你会发现，原先的斜线数组，其实是中心对称的。你懂得。