分治算法

概述

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。 任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

分治策略

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。 如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加； 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。 第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤： 1.divide（分解）：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； 2 conquer（求解）：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题 3 Combine（组合）：将各个子问题的解合并为原问题的解。

算法举例

回文

这里的回文是指资格字符串，它从头到尾读与从尾到头读的内容是一致的，比如说doggod,无论从左到右耗时从右到左都是一样的。

    def isPal(s):
        if len(s) <= 1:
            return True
        else:
            return s[0]==s[-1] and isPal(s[1:-1])
     
    s = 'doggod'
    result = isPal(s)
    print result

二分查找

二分查找的思路比较简单： 1） 选择一个标志i将集合分为二个子集合 2） 判断标志L(i)是否能与要查找的值des相等，相等则直接返回 3） 否则判断L(i)与des的大小 4） 基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找 5） 递归记性上面的步骤

    def binarySearch(L,e,low,high):
        if high == low:
            return L[low] == e 
        mid = (low+high)//2
        if L[mid]==e:
            return True
        elif L[mid]>e:
            if low == mid:
                return False
            else:
                return binarySearch(L,e,low, mid-1)
        else:
            return binarySearch(L,e,mid+1,high)
     
    def search(L,e):
        result = binarySearch(L,e,0,len(L)-1)
        print result   
     
    L = range(10);
    e = 7
     
    search(L,e)    

大整数乘法

图片.png

大整数从高位到低位，被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A，低位部分是B；整数2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：

image

如果把大整数的长度抽象为n，那么：

image

因此，整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式：

image

如此一来，原本长度为****n****的大整数的****1次****乘积，被转化成了长度为****n/2****的大整数的****4次****乘积（AC，AD，BC，BD）。

（3）Strassen矩阵乘法 （4）棋盘覆盖 （5）合并排序 （6）快速排序 （7）线性时间选择 （8）最接近点对问题 （9）循环赛日程表 （10）汉诺塔

master theorem

master定理的英语名称是master theorem，它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。 设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：

image