Codeforces 1107G（dp）

嘿嘿嘿我已经懒成这样了……

简单翻译：

Vasya有n个题目可选，每道题难度为d[i]，买这道题要花的钱为c[i]。他最后一定要选连续的一堆题买过来（也可以不选），即一个区间。然后每道题目他能卖a块钱（注意这是个定值，每道都是a元），这样他赚了一些钱吧，还没完，还要扣点钱，即gap，注意这个gap，之后我们要多次提到。gap的具体定义见题目中的数学公式，口述会凌乱。

输入描述：

第一行输入n，a，代表题目数量和每道题要卖的价格。接下来n行输入每道题的难度d[i]和成本价c[i]。输入保证难度d[i]是递增的。

输出描述：

输出一个整数，代表Vasya最多能赚多少钱。

样例：

Input 1:

5 10

1 15

5 3

6 11

7 2

11 22

Output 1:

Input 2:

3 5

1 8

2 19

3 11

Output 2:

题目简析：

0.以下啰嗦预警。入门新手及易睡人员请直接跳转到9.

1.答案要取连续的区间疯狂暗示线段树。

2.外层枚举r，内层枚举l显然过于暴力。

3.考虑内层的优化。dp[i]：以第i位为结尾的答案（长度大于1的）。dp[i] = max(第一种情况，第二种情况)。解释一下，首先我们可以做到求出i前面gap[j] > gap[i]，j < i最大的j的位置pos，然后其中第一种情况为：自力更生，区间pos～i内gap[i]是最大的。这种情况可以使用线段树logn得到区间内最大右子段和；其中第二种情况为：寄人篱下，区间从pos前的某一位一直到i，即最大的gap不是gap[i]。这种直接dp转移，dp[pos] + sum[pos + 1 ~ i]即可。

4.怎样不暴力枚举巧妙得到pos？这里提供单调栈的方式，每个元素都只进出一次，复杂度完全可以承受。

5.注意一些细节操作，比如最大右子段可能只有一位的长度，所以代码中用pos～i-1的右子段加上了第i位的值以保证长度大于1.

6.为啥非得dp长度大于1的？因为等于1的跟gap没关系了，没法这么搞，且长度为1的……完全可以一开始读入的时候就更新掉。

7.请结合代码细细体会。这好像是我第一次在这里扔我的线段树板子（虽然由于题目原因，是残缺的）。

8.另一种非dp做法：

因为答案的maxgap肯定只在n-1个里面选，所以枚举这n-1个gap，然后区间咋选呢，就是：对于这个gap[i]，我们可以做到求出两个数组l[i]和r[i]，其实和上一个做法很像，l[i]就是gap[i]还能做“土皇帝”向左走得最远的位置，再往左走他就不是最大的了；同理r[i]是向右走的最远。这样只要用线段树查询l[i]到r[i]的最大连续子段和即可。注意有可能i不在这个连续子段和里，但是没关系，这样算出来的值比答案更劣因为减去gap减多了，而我们一会儿就会枚举到真正的答案并更新了。啊对了，l和r数组是在枚举之前用单调栈预处理的，跟dp的那个差不太多……有兴趣的自己写一写，没写出来可以搜一搜或者后台找我。

9.一点闲话（您硬着头皮读（or 滑动）到这里的奖励）。

9.1 其实举例和画图远远比口胡抽象概念更直观、易于理解，也是我一直提倡、却鲜有老师来做的事情。如果AlphaWA很闲、至少不忙的话，或者有一定的盈利的话（删去），当然会身体力行地实践这个事；但是……以前的文章其实尝试过，一弄可能大半天就没了，每次都如此也是很伤，尤其以前的题还是简单题，现在的已经不是三言两语一两张图能说完的了。

9.2 所以只能麻烦大家配合着口胡（口胡必定意识流）啃一啃代码，我感觉我码风和代码逻辑安排都还好吧，最起码不是毒瘤……然后希望读者们可以真的去做一做放出来的题目（才能看明白口胡解析是在说啥），就一道也不多，网上题解也满天飞。

9.3（对我来说的）重点？？？然后日更的事情，公众号可能不行。找题、翻译、写题解、加注释、排版、回复后台消息、回复某些上古题目的留言……一套下来也是费很多时间，非盈利的是做不来的，尤其目前主要是dansen和AlphaWA两个人在负责这些，之前（or现在）也有mxg、天马、紫芝、逆风、Pimithe等等一些小伙伴投稿帮忙（其实很多篇呢！表达感谢！）。有日更兴趣的读者可以到本菜鸡AlphaWA的博客园逛，不忙的时候是按当天情绪日若干更。热烈欢迎比赛写题互相促进的朋友来交流。

最后给大家带来的不便，希望谅解，就酱～

回归课堂。非dp代码咕咕咕，dp代码主要部分：

const int maxn = 3e5 + 5;
int n;
ll a, d[maxn], c[maxn], dp[maxn], ans;

class SegmentTree {
public:
    #define ls(p)   p << 1
    #define rs(p)   p << 1 | 1

    struct Node {
        int l, r;
        ll rs, sum;
    }t[maxn << 2];

    void Push_Up(int p) {
        t[p].sum = t[ls(p)].sum + t[rs(p)].sum;
        t[p].rs = max(t[rs(p)].rs, t[ls(p)].rs + t[rs(p)].sum);
    }

    void Build(int l, int r, int p) {
        t[p].l = l, t[p].r = r;
        if (l == r) {
            t[p].rs = t[p].sum = c[l];
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        Build(l, mid, ls(p));
        Build(mid + 1, r, rs(p));
        Push_Up(p);
    }

    friend Node operator + (const Node x, const Node y) {
       return (Node){x.l, y.r, max(y.rs, x.rs + y.sum), x.sum + y.sum};
    }

    Node Query(int l, int r, int p) {
        if (l <= t[p].l && t[p].r <= r) {
            return t[p];
        }
        int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
        if (r <= mid)   return Query(l, r, ls(p));
        if (mid < l)    return Query(l, r, rs(p));
        return Query(l, r, ls(p)) + Query(l, r, rs(p));
    }
}T;

int main() {
    read(n), read(a);

    rep(i, 1, n) {
        read(d[i]);
        read(c[i]);
        c[i] = a - c[i];
        ans = max(ans, c[i]);
    }

    T.Build(1, n, 1);

    rep(i, 1, n)    c[i] += c[i - 1];

    stack<pair<ll, int>> stk;

    rep(i, 2, n) {
        int pos;
        while (!stk.empty() && stk.top().first < d[i] - d[i - 1]) {
            stk.pop();
        }
        if (stk.empty())    pos = 1;
        else    pos = stk.top().second;
        stk.push(make_pair(d[i] - d[i - 1], i));

        dp[i] = T.Query(pos, i - 1, 1).rs + c[i] - c[i - 1] - (d[i] - d[i - 1]) * (d[i] - d[i - 1]);
        if (pos != 1)   dp[i] = max(dp[i], dp[pos] + c[i] - c[pos]);
        ans = max(dp[i], ans);
    }

    writeln(ans);

    return 0;
}