深入理解向量进行矩阵变换的本质
时间:2022-06-11
本文章向大家介绍深入理解向量进行矩阵变换的本质,主要内容包括其使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。
先复习几个概念:
向量:
可以有以下两种理解:
- 空间上的一个点
- 空间上一段带有长度和方向的线段
向量的理解 上图表述的是平面上一点,在以i和j为基的坐标系里的几何表示,这个点可以看作(x,y)也可以看作是向量ox与向量oy的和。
矩阵:
就是长这个样子:
矩阵
矩阵和向量的乘法:
矩阵*向量
下面进入正题:
前面说过,某个向量可以看成一些标量
倍的基向量的和。
比如,上面提到的那个向量,则是x倍的i向量+y倍的j向量,即xi+yj
那我们上面矩阵运算的结果则可以看成是ax+by+cx+dy
我们简单处理一下,则会得到(a+c)x +(b+d)y,是不是看上去就是这个矩阵对原始的x和y做了点什么。
那(a+c)和(b+d)又是什么呢?其实可以理解为他是一个新的基,为什么这么说呢,我们把刚才丢掉的两个数放里面就比较好理解了,如果i和j是老基的单位向量的话,那这个点的向量应该是(xi+yj)吧,上面其实说过了
向量的理解
那么完整的新向量应该是axi+byj+cxi+dyj 也就是(ai+ci)x+(bj+dj)y 对于老的基来说,这个点的x移动了(ai+ci)y方向移动了(bj+dj) 但是对于这个点来说,它一直都是(x,y)从来没有动过,动的只是基变了而已
所以:
综上我们得到的结论是:
- 向量的矩阵变换,就是将空间上的点进行对应的移动
- 亦或是点没有动,只是给这个点换了一个新的基而已 再总结一点直接上图:
新的基 顺便再盗个图。。。
基的变换 发现一个非常好的学高数的公众号,叫“马同学高等数学”,里面有些文章是收费的,但是看完之后觉得还真是挺形象的
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