一、SVD奇异值分解的定义

    假设

是一个

的矩阵，如果存在一个分解：

其中

为

的酉矩阵，

为

的半正定对角矩阵，

为

的共轭转置矩阵，且为

的酉矩阵。这样的分解称为

的奇异值分解，

对角线上的元素称为奇异值，

称为左奇异矩阵，

称为右奇异矩阵。

二、SVD奇异值分解与特征值分解的关系

    特征值分解与SVD奇异值分解的目的都是提取一个矩阵最重要的特征。然而，特征值分解只适用于方阵，而SVD奇异值分解适用于任意的矩阵，不一定是方阵。

这里，

和

是方阵，

和

为单位矩阵，

为

的特征向量，

为

的特征向量。

和

的特征值为

的奇异值的平方。

三、SVD奇异值分解的作用和意义

    奇异值分解最大的作用就是数据的降维，当然，还有其他很多的作用，这里主要讨论数据的降维，对于

的矩阵

，进行奇异值分解

取其前

个非零奇异值，可以还原原来的矩阵

，即前

个非零奇异值对应的奇异向量代表了矩阵

的主要特征。可以表示为

五、实验的仿真

    我们在手写体上做实验，原始矩阵为

原始矩阵

对应的图像为

对应图像

经过SVD分解后的奇异值矩阵为

部分奇异值矩阵

取前14个非零奇异值

前14个非零奇异值

还原原始矩阵B，还原后的图像为

还原后的图像

对比图像

对比图像

MATLAB代码

%% 测试奇异值分解过程
load data.mat;%该文件是做好的一个手写体的图片
B = zeros(28,28);%将行向量重新转换成原始的图片

for i = 1:28
    j = 28*(i-1)+1;
    B(i,:) = A(1,j:j+27);
end

%进行奇异值分解
[U S V] = svd(B);

%选取前面14个非零奇异值
for i = 1:14
    for j = 1:14
        S_1(i,j) = S(i,j);
    end
end

%左奇异矩阵
for i = 1:28
    for j = 1:14
        U_1(i,j) = U(i,j);
    end
end

%右奇异矩阵
for i = 1:28
    for j = 1:14
        V_1(i,j) = V(i,j);
    end
end

B_1 = U_1*S_1*V_1';

%同时输出两个图片
subplot(121);imshow(B);
subplot(122);imshow(B_1);