BZOJ1491: [NOI2007]社交网络(Floyd 最短路计数)

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Description

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。

在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，

两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人

之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路

径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过

统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有

多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s

到t的最短路的数目；则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图

，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每

一个结点的重要程度。

Input

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号

。接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有

一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。n≤100；m≤4500

，任意一条边的权值 c 是正整数，满足：1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间

的最短路径数目不超过 10^10

Output

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

Sample Input

4 4 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 1

Sample Output

1.000 1.000 1.000 1.000

HINT

社交网络如下图所示。

对于 1 号结点而言，只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点，而 2 号结点和 4 号结

点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义，1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性，其他

三个结点的重要程度也都是 1 。

Source

最短路计数。。

mdzz想到一个做法，应该是$N^3$的，不过与边权有关，然后被卡成$90$分卡成一下午。。

就是直接dfs求最短路计数的时候统计答案，但是不能写记忆化。会wa

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10, INF = 1e8 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, M;
int dis[101][101], f[101][101], num[101][101][101], w[101][101];
void Floyed() {
    for(int k = 1; k <= N; k++) {
        dis[k][k] = 0;
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            for(int j = 1; j <= N; j++)
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);        
    }
}
int GetAns(int bg, int now, int pre) {
    int ans = 0;
    if(bg == now) return 1;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        if(now != i && dis[bg][now] == dis[bg][i] + w[i][now]) {
            int x = GetAns(bg, i, pre);
            num[bg][pre][i] += x;
            ans += x;
        }
    }
    return ans;
}
double ans[MAXN];
main() { 
#ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);
    //freopen("a.out", "w", stdout);
#endif 
    N = read(); M = read();
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(w, 0x3f, sizeof(w));
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        w[x][y] = w[y][x] = dis[x][y] = dis[y][x] = z;
    }
    Floyed();

    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        f[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j <= N; j++)
            f[i][j] = GetAns(i, j, j);        
    }

    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        double ans = 0;
        for(int s = 1; s <= N; s++)    {
            for(int t = 1; t <= N; t++)    
                if(s != i && t != i && s != t)
                    ans += (double)num[s][t][i] / f[s][t];    
        }
        printf("%.3lfn", ans);
    }
    return 0;
}

标算是Floyd最短路计数，

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long 
using namespace std;
const int INF = 1e9 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, M;
LL dis[101][101], num[101][101];
double ans[101];
void Floyed() {
    for(int k = 1; k <= N; k++) {
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            for(int j = 1; j <= N; j++) {
                int to = dis[i][k] + dis[k][j];
                if(to == INF) continue;
                if(to < dis[i][j]) 
                    dis[i][j] = to, num[i][j] = num[i][k] * num[k][j];
                else if(to == dis[i][j]) 
                    num[i][j] += num[i][k] * num[k][j];
            }
    }
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int s = 1; s <= N; s++) {
            for(int t = 1; t <= N; t++) {
                if(s == i || t == i || (dis[s][i] + dis[i][t] != dis[s][t]) || s == t) continue;
                ans[i] += (double)(1.0 * num[s][i] * num[i][t]) / num[s][t];
            }
        }
    }
}
int main() { 
    N = read(); M = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        for(int j = 1; j <= N; j++)    
            dis[i][j] = INF;
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        dis[x][y] = dis[y][x] = z;
        num[x][y] = num[y][x] = 1; 
    }
    Floyed();
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        printf("%.3lfn", ans[i]);
    return 0;
}