Problem Description

Given a sequence a[1],a[2],a[3]......a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.

Input

The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).

Output

For each test case, you should output two lines. The first line is "Case #:", # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.

Sample Input

5 6 -1 5 4 -7

7 0 6 -1 1 -6 7 -5

Sample Output

Case 1:

14 1 4

Case 2:

7 1 6

概译：求一个数列最大连续和，即找到 1 ≤ i ≤ j ≤ n，使得a[ i ]+a[ i+1 ]+……+a[ j ]尽可能大，如有多组相同结果取最靠前的。

输入：测试组数；每行第一个数为n，然后输入a[ 1 ]~a[ n ]。

输出：Case %d:n最大连续和连续和的起始下标i 连续和的末尾下标j

思路：题是水题，这里我们探究一下时间和空间复杂度的优化。

1.枚举

ans=a[1];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i;j<=n;j++)
    {
        //i和j是起点和终点 
        int sum=0;
        for(int k=i;k<=j;k++)    sum+=a[i];
        if(ans<sum)    
            ans=sum;
    }

这大概是我们初学编程时的做法。

2.递推前缀和

sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i;j<=n;j++)
    {
        ans=max(ans,sum[j]-sum[i-1]);
    }

这样子就把一个区间的操作转化为了两个区间端点的操作，使得复杂度降到了O（n²）。然而面对1e5的数据量我们是没有勇气就这么提交的……

3.分治算法（O（nlogn））

以下借鉴刘汝佳《算法竞赛入门经典》中的思路。

①划分问题：把问题的实例划分成子问题；②递归求解：递归解决子问题；③合并问题：合并子问题的解得到原问题的解。

对于区间 [ l , r ]，区间中点m，所求ans = max { l~m的ans，m+1~r的ans，由m连接的、占用了部分l~m和部分m+1~r的连续和 }。

我是用的map来记录的始末端点，详细请参见代码。哪里需要改正或可以精简之处万望指出。

//140ms 
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#define maxn 100005
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;

typedef pair<int,int> P;
int n,a[maxn];
map<P,P>mp;//记录区间[l,r]上的最大连续和的始末点pair(s,e) 

int Maxsum(int l,int r)
{
    if(l==r)//返回条件 
    {
        mp[P(l,r)]=P(1,r);
        return a[l];
    }    

    int m=(l+r)/2;
    int t=Maxsum(l,m),p=Maxsum(m+1,r);//左边和右边的最大连续和 
    int cmp,flag=0;
    if(t<p)
    {
        cmp=p;
        mp[P(l,r)]=mp[P(m+1,r)];
        flag=1;
    }
    else
    {
        cmp=t;
        mp[P(l,r)]=mp[P(l,m)];
    }
    //相连接的最大连续和 
    int L,R;
    for(int i=m,j=inf;i>=l;i--)    
        if(j>=a[i])    
            j=a[i],L=i;
    for(int i=m+1,j=-inf;i<=r;i++)
        if(j<a[i])    
            j=a[i],R=i;

    if(a[R]-a[L]>cmp||(a[R]-a[L]==cmp&&flag))//题中要求有多组相同结果时取最前面的结果，故而使用flag 
    {
        cmp=a[R]-a[L];
        mp[P(l,r)]=P(L+1,R);
    }

    return cmp; 
}
int main()
{
    int test,kase=0;
    scanf("%d",&test);

    while(test--)
    {
        scanf("%d",&n);

        for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",&a[i]),a[i]+=a[i-1];

        printf("Case %d:n%d",++kase,Maxsum(1,n));
        //注意Maxsum过程中求得的mp，所以不能把这两行放在一起输出 
        printf(" %d %dn",mp[P(1,n)].first,mp[P(1,n)].second);
        if(test)    printf("n");    

        mp.clear();
    }

    return 0;
}

4.O(n)算法

还是以i为起点j为终点，则sum[ j ] - sum[ i-1 ]最大（参见第2种讨论）只要路过时顺便把在j之前最小的sum[ i-1 ]记录一下，就不需要遍历一遍了，直接减即可。代码中变量有点凌乱，见谅：

//31ms
#include<cstdio>

int a[100005];
int n,test,kase;

int main()
{
    scanf("%d",&test);
    while(test--)
    {
        printf("Case %d:n",++kase);

        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",&a[i]),a[i]+=a[i-1];

        int s=0,e=0,minn=0,ans=-0x7fffffff;
        //s即start，e即end，代表始末下标；
        //minn是从j∈[1,i)中最小的a[j]，ans为最大连续和初始值设为最小以更新 
        for(int i=1,j=0;i<=n;i++)//j作为临时记录用 
        {
            if(a[i]-minn>ans)    ans=a[i]-minn,s=j,e=i;//更新结果 
            if(minn>a[i])    minn=a[i],j=i;//更新minn 
        }

        printf("%d %d %dn",ans,++s,e);
        if(test)    printf("n");
    }
    return 0;
}

5.减少空间使用

不需要开数组，只要贪心地每读入一个数，sum就加上这个数，若是比ans大，则ans更新为sum；若是sum<0了，则sum置0，因为前面一堆负数只会是后面的正数的累赘，不可能比后面的正数更优。至于后面的正数能不能把ans更新，就要看它能力了。

这依旧是O（n）的算法，所以运行时间没变，但是减少了空间的使用！

另，此代码中使用了读入挂来减少输入的所需时间，使得评测结果更优。虽然网上有很多快速读入的模板，不过AlphaWA感觉有点长有点乱，就东拼西凑瞎搞了一个。如果此种写法有bug，希望同学们指出！

//31ms,scanf替换为普通getchar快速读为46ms，替换为fread快速读为0ms 
#include<cstdio>

//以下变量均为读入挂所需 
const int maxl=1e2;
//这里maxl是每次fread分块读入输入文件的长度，赋值为多少都可以 
//由于有pos==len时pos归零的操作，可以使一个长文件分为若干个长度为maxl的文件读入 
int pos,len;
char buf[maxl];

int xchar()
{
    if(pos==len)    pos=0,len=fread(buf,1,maxl,stdin);
    return buf[pos++];
}
int read()
{
    int x=0,s=1,c=xchar();
    while(c<=32)    c=xchar();
    if(c=='-')    s=-1,c=xchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=xchar())    x=x*10+c-'0';
    return x*s;
}
int main()
{
    int test,kase=0;
    test=read();

    while(test--)
    {
        int n,sum=0,ans=-1001,s,e,temp=1;
        n=read();

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int a;
            a=read();
            sum+=a;
            if(sum>ans)
            {
                ans=sum;
                s=temp;
                e=i;
            }
            if(sum<0)
            {
                sum=0;
                temp=i+1;
            }
        }

        printf("Case %d:n%d %d %dn",++kase,ans,s,e);
        if(test)    printf("n");
    }

    return 0;
}

END~

Max Sum（优化）- HDU 1003

Problem Description