Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i. Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most k transactions. Note:You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again). Credits:Special thanks to @Freezen for adding this problem and creating all test cases. Subscribe to see which companies asked this question.

假设你有一个数组，它的第i个元素是一支给定的股票在第i天的价格。 设计一个算法来找到最大的利润。你最多可以完成 k 笔交易。 样例 给定价格 = [4,4,6,1,1,4,2,5], 且 k = 2, 返回 6.

solution

典型的动态规划，并且利用局部和全局最优，这种思想值得仔细体会，好好掌握。 这种局部最优与全局最优问题 global[i][j] = max(local[i][j], global[i - 1][j]) 很容易知道上面这个递推式。 关键在于求取局部最优的递推式，在本题中 local[i][j] = max(global[i - 1][j - 1] + max(diff, 0), local[i - 1][j] + diff) 这里我们需要两个递推公式来分别更新两个变量local和global 我们定义local[i][j]为在到达第i天时最多可进行j次交易并且最后一次交易在最后一天卖出的最大利润，此为局部最优。然后我们定义global[i][j]为在到达第i天时最多可进行j次交易的最大利润，此为全局最优 局部最优解的递推式可以这样理解：

• 在i-1天时，正在进行第j次交易，所以我们最后一天必须将股票卖出，而且这是算在第j次交易当中的，这种情况下，local[i - 1][j] + diff，只需将i-1天的局部最优解加上最后一天卖出的差值即可，相当于将最后一次交易多延迟了一天
• 第二种情况，就是在第i-1天进行j-1次交易的全局最优解，我们在最后一天还得进行一次交易，必须卖出，如果diff大于0，那么就在第i-1天买进，i天卖出，如果小于0，就直接在第i天买进又卖出，只是为了满足j次交易，就相当于没有交易，即加上0就可以了。 这道题还有一个陷阱，可以优化的地方，就是如果k>=prices.length/2。那我们可以理解可以进行任意次交易了，因为有效交易都需要两天来完成，所以直接使用贪心法就可以算出来了。

public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if(k <=0 || len < 2)
            return 0;
        int maxProfit = 0;
        
        if(k >= len/2) {
            //直接当作贪心处理，也就是问题2的答案
            for(int i=1;i<len;i++) {
                int diff = prices[i]-prices[i-1];
                if(diff > 0)
                    maxProfit += diff;
            }
            return maxProfit;
        }
        
        int[][] local = new int[len][k+1];
        int[][] global = new int[len][k+1];
        
        for(int i=1;i<len;i++) {
            int diff = prices[i] - prices[i-1];
            for(int j=1;j<=k;j++) {
                local[i][j] = Math.max(global[i-1][j-1] + Math.max(diff, 0), 
                        local[i-1][j] + diff);
                global[i][j] = Math.max(local[i][j], global[i-1][j]);
            }
        }
        return global[len-1][k];
    }