从零基础学三分查找
今晚是我们学长第二次讲课,讲了一个三分!认真听了一下,感觉不是很难,可能会比二分还简单些!我就把上课讲的内容归纳为一篇文章概述吧!以后也会重点讲解的!
简单点说二分是查找区间,相当于一次函数,三分就是二次函数了,求它的极值,怎么做,数学常用的是求导,计算机就用查找咯,那么请看下面的简单概述吧!
一. 概念
在二分查找的基础上,在右区间(或左区间)再进行一次二分,这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。
三分查找通常用来迅速确定最值。
二分查找所面向的搜索序列的要求是:具有单调性(不一定严格单调);没有单调性的序列不是使用二分查找。
与二分查找不同的是,三分法所面向的搜索序列的要求是:序列为一个凸性函数。通俗来讲,就是该序列必须有一个最大值(或最小值),在最大值(最小值)的左侧序列,必须满足不严格单调递增(递减),右侧序列必须满足不严格单调递减(递增)。如下图,表示一个有最大值的凸性函数:
二、算法过程
(1)、与二分法类似,先取整个区间的中间值mid。
mid = (left + right) / 2;
(2)、再取右侧区间的中间值midmid,从而把区间分为三个小区间。
midmid = (mid + right) / 2;
(3)、我们mid比midmid更靠近最值,我们就舍弃右区间,否则我们舍弃左区间?。
比较mid与midmid谁最靠近最值,只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时,mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。
if (cal(mid) > cal(midmid))
right = midmid;
else
left = mid;
(4)、重复(1)(2)(3)直至找到最值。
(5)、另一种三分写法
1 double three_devide(double low,double up)
2 {
3 double m1,m2;
4 while(up-low>=eps)
5 {
6 m1=low+(up-low)/3;
7 m2=up-(up-low)/3;
8 if(f(m1)<=f(m2))
9 low=m1;
10 else
11 up=m2;
12 }
13 return (m1+m2)/2;
14 }
算法的正确性:
1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值(最小值)任意一侧都具有单调性,因此,mid与midmid中,更大(小)的那个 数自然更为靠近最值。此时,我们远离最值的那个区间不可能包含最值,因此可以舍弃。
2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间,因此我们舍弃一个区间后,并不会影响到最值
1 const double EPS = 1e-10;
2 double calc(double x)
3 {
4 // f(x) = -(x-3)^2 + 2;
5 return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2;
6 }
7
8 double ternarySearch(double low, double high)
9 {
10 double mid, midmid;
11 while (low + EPS < high)
12 {
13 mid = (low + high) / 2;
14 midmid = (mid + high) / 2;
15 double mid_value = calc(mid);
16 double midmid_value = calc(midmid);
17 if (mid_value > midmid_value)
18 high = midmid;
19 else
20 low = mid;
21 }
22 return low;
23 }
调用ternarySearch(0, 6),返回的结果为3.0000
我们都知道 二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。
如果遇到凸性或凹形函数时,可以用三分查找求那个凸点或凹点。
下面的方法应该是三分查找的一个变形。
如图所示,已知左右端点L、R,要求找到白点的位置。
思路:通过不断缩小 [L,R] 的范围,无限逼近白点。
做法:先取 [L,R] 的中点 mid,再取 [mid,R] 的中点 mmid,通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。
当最后 L=R-1 时,再比较下这两个点的值,我们就找到了答案。
1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候,我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。
反证法:假设 mmid 在白点的左边,则 mid 也一定在白点的左边,又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid,与已知矛盾,故假设不成立。
所以,此时可以将 R = mmid 来缩小范围。
2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候,我们可以断定 mid 一定在白点的左边。
反证法:假设 mid 在白点的右边,则 mmid 也一定在白点的右边,又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid,与已知矛盾,故假设不成立。
同理,此时可以将 L = mid 来缩小范围。
1 int SanFen(int l,int r) //找凸点
2 {
3 while(l < r-1)
4 {
5 int mid = (l+r)/2;
6 int mmid = (mid+r)/2;
7 if( f(mid) > f(mmid) )
8 r = mmid;
9 else
10 l = mid;
11 }
12 return f(l) > f(r) ? l : r;
13 }
日后会以例题的形式进行详细的讲解,这个也就是入门级!
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